Question

如圖，AC是⊙O的直徑，BC切⊙O于點C，AB交⊙O于點D，連接DO，并延長交BC的延長線于點E．過D作⊙O的切線交BC于點F．
（Ⅰ）求證：F是BC的中點；
（Ⅱ）若BC=2，且S_△DBF：S_△DCE=3：2，求AD：DB的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理，得出CD⊥AC；根據(jù)切線長定理求得FD=FC，即∠FDC=∠FCD，由于等角的余角相等，可得出∠FDB=∠B，由此可證得FD=FB=FC；
（2）由于△DBF與△DCE等高，因此它們的面積比等于底邊比，即BF：CE=3：2；由此可求得BF、FC、CE的長；由切割線定理，得：EH²=EH•ED，根據(jù)勾股定理可在Rt△FED中求得ED的長，由此可求出ED、DH的長，也就求出了AC的長，進而可求出AB的長；根據(jù)切割線定理即可求出BD、AD的長，由此得解．

解答：（Ⅰ）證明：∵AC為⊙O的直徑，
∠BDC=∠ADC=90°．
∵FD、FC是⊙O的切線，
∴FD=FC．
∴∠FDC=∠FCD．
又∵∠FDB+∠FDC=∠B+∠FCD=90°，
∴∠FDB=∠B．
∴FD=FB，
∴FB=FC．
∴F是BC中點．

（Ⅱ）解：∵S_△DBF：S_△DCE=3：2，
又∵△DBF邊BF上的高與△DCE邊CE上的高相等，
∴BF：CE=3：2．
又BC=2，F(xiàn)是BC中點，
∴BF=FC=1，∴CE=

2

3

．
方法一：在Rt△DFE中，
∵DF=1，EF=1+

2

3

=

5

3

，
∴DE=

( 5 3 )2-1

=

4

3

，
設(shè)DE交⊙O于H，則
CE²=EH•ED，
∴（

2

3

）²=

4

3

EH；
∴EH=

1

3

；
∴DH=

4

3

-

1

3

=1；
∴AC=1．
在Rt△ABC中，
AB=

BC2+AC2

=

5

；
∵BC切⊙O于C，∴BD•AB=BC²=4；
∴BD=

4

5

AD=

5

-

4

5

=

1

5

；
∴

AD

BD

=

1

4

．

方法二：設(shè)

AD

DB

=k，則可設(shè)AD=km，DB=m，
∴AB=（k+1）m，
∵BC²=BD•BA，
∴（k+1）m²=4，
∴m=

2

k+1

．
∴AC=

AB2-BC2

=

4(k+1)-4

=2

k

，
∴OC=

k

．
設(shè)DE交⊙O于H，EH=x，
由切割線定理，得
EC²=EH•ED，
即

4

9

=x•（x+2

k

）．
∵∠OCE=∠EDF=90°，∠E=∠E，
∴Rt△OCE∽Rt△FDE．
∴

OE

EF

=

OC

DF

，即

x+ k

1+ 2 3

=

k

1

，x=

2

3

k

；
代入（*）式，得

4

9

=

2

3

k

(

2 k

3

+2

k

)，∴k=

1

4

故AD：DB=1：4．

點評：本題考查的是切割線定理，切線的性質(zhì)定理，勾股定理．