Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點E是邊CD上任意一點（點E與點C、D不重合），過點A作AF⊥AE，交邊CB的延長線于點F，連接EF，交邊AB于點G．設DE=x，BF=y．
（1）求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）如果AD=BF，求證：△AEF∽△DEA；
（3）當點E在邊CD上移動時，△AEG能否成為等腰三角形？如果能，請直接寫出線段DE的長；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質(zhì)推出∠BAD=∠D=∠ABC=90°，即得∠D=∠ABF，再由AF⊥AE得出∠EAF=∠BAD=90°，然后由∠EAF=∠BAF+∠BAE，∠BAD=∠DAE+∠BAE，得出∠DAE=∠BAF，由∠D=∠ABF，∠DAE=∠BAF，得△DAE∽△BAF，再由三角形相似的性質(zhì)得到y(tǒng)關于x的函數(shù)解析式y(tǒng)=

4

3

x，從而得出x的取值范圍．
（2）由AB∥CD，得出

FG

GE

=

FB

BC

=1．即得FG=EG，再由∠EAF=90°，得AG=FG，∠FAG=∠AFG，∴∠AFE=∠DAE，再由∠EAF=∠D，∠AFE=∠DAE，得△AEF∽△DEA．
（3）當點E在邊CD上移動時，△AEG能成為等腰三角形，此時可以推斷出三種情況，一一推斷即可．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=BC=3．
即得∠D=∠ABF．
∵AF⊥AE，∴∠EAF=∠BAD=90°．
又∵∠EAF=∠BAF+∠BAE，∠BAD=∠DAE+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAF．
于是，由∠D=∠ABF，∠DAE=∠BAF，
得△DAE∽△BAF．（1分）
∴

AD

AB

=

DE

BF

．
由DE=x，BF=y，得

3

4

=

x

y

，即得y=

4

3

x．（2分）
∴y關于x的函數(shù)解析式是y=

4

3

x，0＜x＜4．（3分）

（2）∵AD=BF，AD=BC，∴BF=BC．
在矩形ABCD中，AB∥CD，∴

FG

GE

=

FB

BC

=1．即得FG=EG．
于是，由∠EAF=90°，得AG=FG．∴∠FAG=∠AFG．
∴∠AFE=∠DAE．（4分）
于是，由∠EAF=∠D，∠AFE=∠DAE，得△AEF∽△DEA．（5分）

（3）當點E在邊CD上移動時，△AEG能成為等腰三角形．
此時，①當AG=EG時，DE=

9

4

；（6分）
②當AE=GE時，DE=

3

2

；（7分）
③當AG=AE時，DE=

7

8

（8分）

點評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)和一次函數(shù)的綜合運用．