Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，直線與x軸、y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)．

（1）求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若有一拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行于y軸且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，頂點(diǎn)C在圓M上，開(kāi)口向下，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，求此拋物線的函數(shù)解析式；

（3）設(shè)（2）中的拋物線交軸于D、E兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得S△PDE=S△ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣8，0），B（0，﹣6）;（2）；（3）存在．P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）或（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）時(shí)，使得．

【解析】分析：（1）令已知的直線的解析式中x=0，可求出B點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，可求出A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)A、B的坐標(biāo)易得到M點(diǎn)坐標(biāo)，若拋物線的頂點(diǎn)C在⊙M上，那么C點(diǎn)必為拋物線對(duì)稱(chēng)軸與⊙O的交點(diǎn)；根據(jù)A、B的坐標(biāo)可求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到⊙M的半徑及C點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解即可；

（3）在（2）中已經(jīng)求得了C點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到AC、BC的長(zhǎng)；由圓周角定理:

∠ ACB=90°，所以此題可根據(jù)兩直角三角形的對(duì)應(yīng)直角邊的不同來(lái)求出不同的P點(diǎn)坐標(biāo)．

本題解析：（1）對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，

所以A（﹣8，0），B（0，﹣6）；

（2）在Rt△AOB中，AB==10，∵∠AOB=90°，∴AB為⊙M的直徑，

∴點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，M（﹣4，﹣3），∵M(jìn)C∥y軸，MC=5，∴C（﹣4，2），

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+4)+2，

把B（0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a= ，

∴拋物線的解析式為 ，即；

（3）存在．

當(dāng)y=0時(shí)， ，解得x，=﹣2，x，=﹣6，

∴D（﹣6，0），E（﹣2，0），

，

設(shè)P（t， -6），

∵

∴=20，

即||=1，當(dāng)=-1，

解得， ，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）；

當(dāng)時(shí) ，解得=﹣4+， =﹣4﹣；

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）．

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）或（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）時(shí)，使得．