Question

點A、B分別是兩條平行線m、n上任意兩點，在直線n上找一點C，使BC=kAB，連接AC，在直線AC上任取一點E，作∠BEF=∠ABC，EF交直線m于點F．
（1）如圖1，當k=1時，探究線段EF與EB的關系，并加以說明；
說明：①如果你經過反復探索沒有解決問題，請寫出探索過程（要求至少寫三步）；
②在完成①之后，可以自己添加條件（添加的條件限定為∠ABC為特殊角），在圖2中補全圖形，完成證明（選擇添加條件比原題少得3分）．
（2）如圖3，若∠ABC=90°，k≠1，探究線段EF與EB的關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）EF=EB．
證明：如圖1，以E為圓心，以EA為半徑畫弧交直線m于點M，連接EM．
∴EM=EA，
∴∠EMA=∠EAM．
∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB．
∴∠CAB=∠ACB．
∵m∥n，
∴∠MAC=∠ACB，∠FAB=∠ABC．
∴∠MAC=∠CAB．
∴∠CAB=∠EMA．
∵∠BEF=∠ABC，
∴∠BEF=∠FAB．
∵∠AHF=∠EHB，
∴∠AFE=∠ABE．
在△AEB和△MEF中，
∵
∴△AEB≌△MEF（AAS）．
∴EF=EB．
探索思路：
如圖1，∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB．
∴∠CAB=∠ACB．
∵m∥n，
∴∠MAC=∠ACB．

添加條件：∠ABC=90°．
證明：如圖2，在直線m上截取AM=AB，連接ME．
∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB．
∵∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵m∥n，
∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°，∠FAB=90°．
∵AE=AE，
∴△MAE≌△ABE．
∴EM=EB，∠AME=∠ABE．
∵∠BEF=∠ABC=90°，
∴∠FAB+∠BEF=180°．
∴∠ABE+∠EFA=180°，
又∵∠AME+∠EMF=180°，
∴∠EMF=∠EFA．
∴EM=EF．
∴EF=EB．

（2）EF=EB．
證明：如圖3，過點E作EM⊥m、EN⊥AB，垂足為M、N．
∴∠EMF=∠ENA=∠ENB=90°．
∵m∥n，∠ABC=90°，
∴∠MAB=90°．
∴四邊形MENA為矩形．
∴ME=NA，∠MEN=90°．
∵∠BEF=∠ABC=90°．
∴∠MEF=∠NEB．
∴△MEF∽△NEB．
∴=，
∴．
在Rt△ANE和Rt△ABC中，tan∠BAC=，
∴=k，
∴EF=EB．
分析：（1）首先以E為圓心，以EA為半徑畫弧交直線m于點M，連接EM，進而得出△AEB≌△MEF，即可得出答案；也可以選擇添加條件∠ABC=90°，得出△MAE≌△ABE，進而得出答案；
（2）首先過點E作EM⊥m、EN⊥AB，垂足為M、N，證明△MEF∽△NEB，得出，即可得出tan∠BAC=，即EF=EB．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識，根據(jù)已知得出△MEF∽△NEB進而得出tan∠BAC=是解題關鍵．