Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，反比例函數y＝（m為常數，m＞2，x＞0）的圖象過點P（m，2）和Q（2，m），直線PQ與x軸，y軸分別交于C，D兩點，點M（x，y）是反比例函數圖象上的一個動點，過點M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為A，B．MA交OP于點E，MB交OQ于點F，連接EF，MP，MQ

（1）當m＝4時，求線段CD的長；

（2）當2＜x＜m時，若僅存在唯一的點M使得△MPQ的面積等于m﹣2，求此時點M的坐標；

（3）當2＜x＜m時，記以線段OE，OF為兩直角邊的三角形外接圓面積為S1；記三角形△MEF的外接圓面積為S2；記以PC為直徑的圓面積為S3；記以QD為直徑的圓面積為S4；試比較S1，S2+S3+S4的大�。�

Answer 1

【答案】(1) 6;(2) M（4，4）;(3) S1＝S2+S3+S4,理由見解析

【解析】

（1）求出直線PQ的解析式，再求出點C，D的坐標即可解決問題．

（2）由題意當2＜x＜m時，若僅存在唯一的點M使得△MPQ的面積等于m﹣2，根據反比例函數是關于直線y＝x對稱的，可知點M在直線y＝x上，可得M（，），然后求出直線PQ的解析式，連接OM交CD于G，求出OG，OM，可得MG的長，然后結合P，Q坐標，可得PQ的長，再利用三角形的面積公式構建方程即可解決問題；

（3）設M（a，），由（2）可知D（0，2+m），C（2+m，0），可得DQ＝，PC＝，然后易得直線OP的解析式為y＝，直線OQ的解析式為y＝，求出E（a，），F（，），再根據直角三角形外接圓的性質和圓的周長公式求出S1，S2，S3，S4，即可判斷．

解：（1）當m＝4時，Q（2，4），P（4，2），

設直線PQ的解析式為y＝kx+b(k≠0)，

則，解得：，

∴直線PQ的解析式為y＝﹣x+6，

令y=0則x=6，令x=0則y=6，

∴C（6，0），D（0，6），

∴OC＝OD＝6，

∵∠COD＝90°，

∴CD＝；

（2）∵當2＜x＜m時，若僅存在唯一的點M使得△MPQ的面積等于m﹣2，

∴根據反比例函數關于直線y＝x對稱，可知點M在直線y＝x上，

∴M（，），

∴OM=，

設直線PQ的解析式為y＝kx+b(k≠0)，

則，解得：，

∴直線PQ的解析式為y＝﹣x+2+m，

令x=0則y=2+m，令y=0則x=2+m，

∴D（0，2+m），C（2+m，0），

∴CD＝，

連接OM交CD于G，

∵△COD是等腰直角三角形，點M在直線y＝x上，

∴OG⊥CD，

∴OG=，

∴MG＝，

∵P（m，2），Q（2，m），

∴PQ＝，

由題意得：，

解得m＝8或0（舍去），

∴M（4，4）；

（3）設M（a，），

由（2）可得D（0，2+m），C（2+m，0）

∴DQ＝，PC＝，

易得直線OP的解析式為y＝，直線OQ的解析式為y＝，

∴E（a，），F（，），

∴

，

S3＝S4＝2π，

∴S2+S3+S4＝＝S1，

∴S1＝S2+S3+S4．