Question

已知：如圖，EF是矩形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線，EF與對(duì)角線AC及邊AD、BC分別交于點(diǎn)O、E、F．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）如果FE=2ED，求AE：ED的值．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠2．（1分）
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF（1分）
∴四邊形AFEC是平行四邊形．（1分）
又EF⊥AC，
∴四邊形AFEC是菱形；（1分）

（2）由（1）知：FE=2EO，
又∵FE=2ED，
∴EO=ED，（1分）
又EO⊥AC，ED⊥DC，
∴∠3=∠4，（1分）
由（1）知，四邊形AFEC是菱形，
∴AE=EC，∠2=∠3，
∴∠2=∠3=∠4=

1

3

∠BCD=30°（1分）
又∠D=90°，
∴EC=2ED（1分）
∴AE=2ED，即AE：ED=2：1=2．（1分）