Question

已知二次函數(shù)．
【小題1】求證：無論m為任何實(shí)數(shù)，該二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)；
【小題2】當(dāng)該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，6）時(shí)，求二次函數(shù)的解析式；
【小題3】將直線y=x向下平移2個(gè)單位長度后與（2）中的拋物線交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對稱軸上的某點(diǎn)E，再到達(dá)x軸上的某點(diǎn)F，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B．求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長．

Answer 1

【小題1】證明：令y=0,則．
∵△=,             
又∵， ∴．即△>0．
∴無論m為任何實(shí)數(shù)，一元二次方程總有兩不等實(shí)根．
∴該二次函數(shù)圖象與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)．   
【小題2】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，6）,
∴.解得.  
∴二次函數(shù)的解析式為
【小題3】解：將向下平移2個(gè)單位長度后得到解析式為：
解方程組  得     
∴直線與拋物線的交點(diǎn)為 
∴點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)是,點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是.
     設(shè)過點(diǎn)、的直線解析式為．
∴    解得
∴直線的解析式為.
∴直線與x軸的交點(diǎn)為.                       
與直線的交點(diǎn)為.                          
則點(diǎn)、為所求．
過點(diǎn)做，∴，.
在Rt△中，.
∴所求最短總路徑的長為.

解析