Question

（1）如圖，已知△ABC周長(zhǎng)為1，連接△ABC三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連接第二個(gè)三角形三邊中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，依此類推，由第一個(gè)三角形ABC的周長(zhǎng)C₁=1，
則第二個(gè)三角形的周長(zhǎng)C₂=

 

第三個(gè)三角形的周長(zhǎng)C₃=

 

…
第2006個(gè)三角形的周長(zhǎng)C₂₀₀₆=

 

…
第n個(gè)三角形的周長(zhǎng)C_n=

 

（2）在圖1中，互不重疊的三角形共有4個(gè)，在圖2中，互不重疊的三角形共有7個(gè)，在圖3中，互不重疊的三角形共有10個(gè)，…，則在第k個(gè)圖形中，互不重疊的三角形共有

 

個(gè)（用含k的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形中位線定理易得所求的三角形的各邊長(zhǎng)為原三角形各邊長(zhǎng)的一半，那么所求的三角形的周長(zhǎng)就等于原三角形周長(zhǎng)的一半．據(jù)此找規(guī)律求解；
（2）根據(jù)圖形結(jié)合題目所給數(shù)據(jù)尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)圖2比圖1多3個(gè)互不重疊的三角形，即4+3個(gè)；圖3比圖2多3個(gè)互不重疊的三角形，即4+3×2個(gè)；依此類推，圖k中互不重疊的三角形的個(gè)數(shù)是4+3（k-1），即3k+1個(gè)．

解答：解：（1）根據(jù)三角形的中位線定理，得每一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)是前邊三角形邊長(zhǎng)的

1

2

．
∴△A₃B₃C₃的周長(zhǎng)C₃=(

1

2

)2=

1

4

；
△A_nB_nC_n的周長(zhǎng)C_n=(

1

2

)(n-1)．
∴第二個(gè)三角形的周長(zhǎng)C₂是第一個(gè)三角形周長(zhǎng)的

1

2

，即C₂=

1

2

；
第三個(gè)三角形的周長(zhǎng)C₃是第二個(gè)三角形周長(zhǎng)的

1

2

，即C₃=

1

4

；
…C₂₀₀₆=(

1

2

)2005；
Cn=

1

2(n-1)

（2）圖1中互不重疊的三角形有4個(gè)，
圖2中互不重疊的三角形有7=4+3個(gè)，
圖3中互不重疊的三角形有10=4+3×2個(gè)，
按此規(guī)律圖k中互不重疊的三角形有4+3（k-1）=3k+1個(gè)．
故答案為：（1）

1

2

、

1

4

、(

1

2

)2005、(

1

2

)(n-1)；（2）3k+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線定理、圖形的變化類．解答時(shí)，把圖形和數(shù)據(jù)相結(jié)合，找出其中的內(nèi)在聯(lián)系，按照規(guī)律便能順利解題．