Question

平面上的點M關(guān)于直線l有唯一的軸對稱點M′，這樣平面上的任意一點就與該點關(guān)于這條直線的軸對稱點之間建立了一種對應(yīng)關(guān)系，我們把這種對應(yīng)關(guān)系叫做點M關(guān)于直線l的軸對稱變換，記為MM′（l），點M的軸對稱點就記為M′（l），如圖（1）所示．如果先作平面上的點M關(guān)于直線l的軸對稱變換，MM′（l），M得到對應(yīng)點M′（l），然后，再作M′（l）關(guān)于另外一條直線m的軸對稱變換，M′（l）M″（l，m），這樣點M就與該點關(guān)于直線l和m的軸對稱點M″（l，m）之 間建立了一種對應(yīng)關(guān)系，我們把這種對應(yīng)關(guān)系就叫做點M關(guān)于直線l和m的軸對稱變換，M′（l）M″（l，m），記為，M的對應(yīng)點就記為M″（l，m）．如圖（2），M是平面上的一點，直線l、m相交所成的角為θ（0°＜θ≤90°），且交點為O，請回答如下問題：
（1）在備用圖中，請畫出M′（l）和M″（l，m）（保留畫圖痕跡）．
（2）當(dāng)θ=______°時，M與M″（l，m）關(guān)于點O成中心對稱．
（3）試探究∠MOM′′與θ之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）

（2）當(dāng)M與M″（l，m）關(guān)于點O成中心對稱時，∠MOM″=180°，
∵M與M′關(guān)于l對稱，
∴∠MOE=∠M′OE，同理∠FOM″=∠FOM′，
∴∠MOM″=2∠EOF=2θ=180°
∴∠θ=90°．
故答案是：90；
（3）∠MOM″=2θ．
證明：∵M與M′關(guān)于l對稱，
∴∠MOE=∠M′OE，同理∠FOM″=∠FOM′，
∴∠MOM″=2∠EOF=2θ．
分析：（1）作出M關(guān)于l的對稱點M′，再作出M′關(guān)于m的對稱點即可求解；
（2）M與M′關(guān)于l對稱，則l是MM′的垂直平分線，則∠MOE=∠M′OE，同理∠FOM″=∠FOM′，即可得到∠MOM″=2∠EOF，從而求解；
（3）解法與（2）相同．
點評：本題考查了作一個點關(guān)于直線的對稱點的作法，以及對稱點的性質(zhì)，對稱軸是對稱點連線的中垂線．