Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+c圖象的頂點為點M（0，-9），且經(jīng)過點A（3，0）．
（1）求此二次函數(shù)的關系式；
（2）設點D（x，y）是此二次函數(shù)圖象上一動點，且位于第三象限，點C的坐標為（-5，0），四邊形ABCD是以AC為對角線的平行四邊形．
①求平行四邊形ABCD的面積S與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②當點B在此二次函數(shù)圖象的對稱軸上時，求平行四邊形ABCD的面積；
③當平行四邊形ABCD的面積為64時，請判斷平行四邊形ABCD是否為菱形？
④是否存在點D，使平行四邊形ABCD為正方形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、M兩點坐標代入y=ax²+c即可求得拋物線的解析式；
（2）①根據(jù)D點坐標，用y表示出平行四邊形ABCD的面積S，進而便可求出平行四邊形ABCD的面積S與x之間的函數(shù)關系式，
②過點D作DE⊥AC，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)，求出OE的長，便可求出平行四邊形ABCD的面積，
③根據(jù)平行四邊形的面積求出D點坐標，進而可判斷平行四邊形ABCD為菱形，
④不存在，先求出使平行四邊形ABCD為正方形是D點的坐標，進而判斷D點不在拋物線上，即不存在D點坐標滿足題中條件．

解答：解：（1）由題意得

c=-9 9a+c=0

（1分）
解之，得

a=1 c=-9

（2分）
故二次函數(shù)的關系式為y=x²-9（3分）

（2）①D（x，y）在二次函數(shù)的圖象上，且位于第三象限，
∴y＜0，即-y＞0，-y表示點D到AC的距離．
∵AC是平行四邊形ABCD的對角線，
∴S=2S△ACD=2×

1

2

×AC•|y|=-8y=-8x2+72．（5分）
當y=0時，x²-9=0，得x=±3
所以二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點是（-3，0），
所以，自變量x的取值范圍是-3＜x＜0．（6分）
②如圖：當點B在此二次函數(shù)圖象的對稱軸上時，
過點D作DE⊥AC，垂足為點E，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠DCE=∠BAO，∠CED=∠AOB=90°，
∴△ABO≌△CDE
∵點B在二次函數(shù)的圖象的對稱軸上OA=3，
∴CE=OA=3，
所以OE=2，所以當x=-2時，y=-5，S=40；（8分）
③根據(jù)題意，當S=64時，即-8x²+72=64．
解之，得x₁=1，x₂=-1．
故所求的點D有兩個，分別為D₁（1，-8）（舍去），D₂（-1，-8）．（9分）
所以平行四邊形ABCD不是菱形（或者說明點D不在第三象限）；
點D₂（-1，-8）滿足DC=DA，
所以平行四邊形ABCD是菱形．（10分）
④當AC⊥BD，且AC=BD時，
平行四邊形ABCD是正方形，此時點D的坐標只能是（-1，-4）．（11分）
而坐標為（-1，-4）的點不在二次函數(shù)的圖象上，
故不存在這樣的點D，使平行四邊形ABCD為正方形．（12分）

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和平行四邊形的性質(zhì)等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結合和分類討論等數(shù)學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．