Question

（2013•鹽城模擬）已知四邊形ABCD的外接圓⊙O的半徑為5，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為E，且AB²=AE•AC，BD=8，
（1）判斷△ABD的形狀并說明理由；
（2）求△ABD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知推出△BAE∽△CAB，得出∠ACB=∠DBA，推出弧AD=弧AB即可；
（2）分為兩種情況：畫出圖形①當(dāng)點(diǎn)O在△ABD內(nèi)時(shí)，連接AO延長(zhǎng)到F交BD于F，連接OB，求出OF，求出AF、BF，根據(jù)三角形的面積求出即可；②當(dāng)點(diǎn)O在△ABD外時(shí)，連接AO交BD于G，連接OB，求出OG，求出AG、BG，根據(jù)三角形的面積求出即可．

解答：（1）解：△ABD的形狀是等腰三角形，
理由是：∵AB²=AE•AC，
∴

AB

AE

=

AC

AB

，
∵∠BAE=∠CAB，
∴△BAE∽△CAB，
∴∠ACB=∠DBA，
∴弧AD=弧AB，
∴AD=AB，
即△ABD是等腰三角形；


（2）解：分為兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)O在△ABD內(nèi)時(shí)，連接AO延長(zhǎng)到F交BD于F，連接OB，
∵AD=AB，⊙O是△ABD的外接圓，
∴O在BD的垂直平分線上，
∴根據(jù)等腰三角形三線合一定理得出：AF⊥BD，
∵OF過O，BD=8，
∴BF=

1

2

BD=4，OA=OB=5，
在Rt△BFO中，OF=

52-42

=3，
∴AF=OA+OF=5+3=8，
∴△ABD的面積是

1

2

×AF×BD=

1

2

×8×8=32；
②當(dāng)點(diǎn)O在△ABD外時(shí)，
連接AO交BD于點(diǎn)G，連接OB，
即AO⊥BD，BG=

1

2

BD=4，OA=OB=5，
∵在Rt△BOG中，由勾股定理得：OG=3，
∴AG=OA-OG=5-3=2，
∴△ABD的面積是：

1

2

×BD×AG=

1

2

×2×8=8；
即△AND的面積是32或8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理，三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．