Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC與⊙O相切于點(diǎn)A，CO交⊙O于點(diǎn)D，BD的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)E，求證：AB•CD=AC•AE．

Answer 1

分析：連接AD．要證AB•CD=AC•AE，即證

AC

CD

=

AB

AE

．由△ACD∽△DCE，可得

AC

CD

=

AD

DE

；由△AED∽△BEA，可得

AD

DE

=

AB

AE

．

AB

AE

=

AC

CD

．即可得出AB•CD=AC•AE．

解答：證明：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BE．
∵AC是⊙O的切線，
∴∠EAD=∠B．
∵BO=DO，
∴∠B=∠ODB=∠EDC，
∴∠EAD=∠EDC．
又∠C=∠C，∴△ACD∽△DCE，∴

AC

CD

=

AD

DE

；
在Rt△AEB中，AD⊥BE，∠EAD=∠B，
∴△AED∽△BEA，
∴

AD

ED

=

AB

AE

，
∴

AB

AE

=

AC

CD

．
∴AB•CD=AC•AE．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)乘積的形式通�？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式，本題可以通過(guò)兩組相似三角形的性質(zhì)得出的比例式綜合應(yīng)用即可證明．