Question

如圖，已知拋物線y=

1

2

x²-2x+1的頂點(diǎn)為P，A為拋物線與y軸的交點(diǎn)，過A與y軸垂直的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為B，與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)O′，過點(diǎn)B和P的直線l交y軸于點(diǎn)C，連接O′C，將△ACO′沿O′C翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)D的位置．
（1）求直線l的函數(shù)解析式；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得S_△DQC=S_△DPB？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，可以求得點(diǎn)P，A，B，O′的坐標(biāo)，因?yàn)橹本�l過點(diǎn)B，P，所以利用待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)折疊的知識(shí)可得：∠CDO′=∠CAO′=90°，O′C是AD的垂直平分線，連接AD，作DF⊥AB于點(diǎn)F，利用相似三角形與直角三角形的性質(zhì)即可求得；
（3）顯然，O′P∥AC，且O′為AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)，∴S_△DPC=S_△DPB．
故要使S_△DQC=S_△DPB，只需S_△DQC=S_△DPC．（7分）
過P作直線m與CD平行，則直線m上的任意一點(diǎn)與CD構(gòu)成的三角形的面積都等于S_△DPC，
故m與拋物線的交點(diǎn)即符合條件的Q點(diǎn)．
據(jù)直線m的作法，可以求得直線m的解析式為y=

3

4

x-

5

2

．根據(jù)題意還可求得，拋物線上存在兩點(diǎn)Q₁（2，-1）（即點(diǎn)P）和Q₂（

7

2

，

1

8

），使得S_△DQC=S_△DPB．

解答：解：（1）配方，得y=

1

2

（x-2）²-1，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)為P（2，-1）．（1分）
取x=0代入y=

1

2

x²-2x+1，
得y=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，1）．
由拋物線的對(duì)稱性知，點(diǎn)A（0，1）與點(diǎn)B關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，1）．（2分）
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），將B、P的坐標(biāo)代入，
有

1=4k+b -1=2k+b

，
解得

k=1 b=-3

∴
∴直線l的解析式為y=x-3．（3分）

（2）連接AD交O′C于點(diǎn)E，
∵點(diǎn)D由點(diǎn)A沿O′C翻折后得到，
∴O′C垂直平分AD．
由（1）知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），
∴在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，
∴O′C=2

5

．
據(jù)面積關(guān)系，有

1

2

×O′C×AE=

1

2

×O′A×CA，
∴AE=

4

5

5

，AD=2AE=

8

5

5

．
作DF⊥AB于F，易證Rt△ADF∽R(shí)t△CO′A，
∴

AF

AC

=

DF

O′A

=

AD

O′C

，
∴AF=

AD

O′C

•AC=

16

5

，DF=

AD

O′C

•O′A=

8

5

，（5分）
又∵OA=1，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為1-

8

5

=-

3

5

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

16

5

，-

3

5

）．（6分）

（3）顯然，O′P∥AC，且O′為AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)，
∴S_△DPC=S_△DPB．
故要使S_△DQC=S_△DPB，只需S_△DQC=S_△DPC．（7分）
過P作直線m與CD平行，則直線m上的任意一點(diǎn)與CD構(gòu)成的三角形的面積都等于S_△DPC，
故m與拋物線的交點(diǎn)即符合條件的Q點(diǎn)．
容易求得過點(diǎn)C（0，-3）、D（

16

5

，-

3

5

）的直線的解析式為y=

3

4

x-3，
據(jù)直線m的作法，可以求得直線m的解析式為y=

3

4

x-

5

2

．
令

1

2

x²-2x+1=

3

4

x-

5

2

，
解得x₁=2，x₂=

7

2

，
代入y=

3

4

x-

5

2

，得y₁=-1，y₂=

1

8

，
因此，拋物線上存在兩點(diǎn)Q₁（2，-1）（即點(diǎn)P）和Q₂（

7

2

，

1

8

），使得S_△DQC=S_△DPB．（9分）
（僅求出一個(gè)符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，扣1分）

點(diǎn)評(píng)：此題屬于中考中的壓軸題，難度較大，知識(shí)點(diǎn)考查的較多而且聯(lián)系密切，需要學(xué)生認(rèn)真審題．
此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)，折疊問題的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．