Question

（2013•北京）對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下的定義：若⊙C上存在兩個點A、B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C的關(guān)聯(lián)點．已知點D（

1

2

，

1

2

），E（0，-2），F(xiàn)（2

3

，0）．
（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時，
①在點D、E、F中，⊙O的關(guān)聯(lián)點是

D，E

．
②過點F作直線l交y軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線l上的點P（m，n）是⊙O的關(guān)聯(lián)點，求m的取值范圍；
（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，求這個圓的半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)關(guān)聯(lián)點的定義得出E點是⊙O的關(guān)聯(lián)點，進而得出F、D，與⊙O的關(guān)系；
②若P要剛好是⊙C的關(guān)聯(lián)點，需要點P到⊙C的兩條切線PA和PB之間所夾的角為60°，進而得出PC的長，進而得出點P到圓心的距離d滿足0≤d≤2r，再考慮臨界點位置的P點，進而得出m的取值范圍；
（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，欲使這個圓的半徑最小，則這個圓的圓心應(yīng)在線段EF的中點；再考慮臨界情況，即恰好E、F點為⊙K的關(guān)聯(lián)時，則KF=2KN=

1

2

EF=2，即可得出圓的半徑r的取值范圍．

解答：解：（1）①如圖1所示，過點E作⊙O的切線設(shè)切點為R，
∵⊙O的半徑為1，∴RO=1，
∵EO=2，
∴∠OER=30°，
根據(jù)切線長定理得出⊙O的左側(cè)還有一個切點，使得組成的角等于30°，
∴E點是⊙O的關(guān)聯(lián)點，
∵D（

1

2

，

1

2

），E（0，-2），F(xiàn)（2

3

，0），
∴OF＞EO，DO＜EO，
∴D點一定是⊙O的關(guān)聯(lián)點，而在⊙O上不可能找到兩點與點F的連線的夾角等于60°，
故在點D、E、F中，⊙O的關(guān)聯(lián)點是D，E；
故答案為：D，E；

②由題意可知，若P要剛好是⊙C的關(guān)聯(lián)點，
需要點P到⊙C的兩條切線PA和PB之間所夾的角為60°，
由圖2可知∠APB=60°，則∠CPB=30°，
連接BC，則PC=

BC

sin∠CPB

=2BC=2r，
∴若P點為⊙C的關(guān)聯(lián)點，則需點P到圓心的距離d滿足0≤d≤2r；
由上述證明可知，考慮臨界點位置的P點，
如圖3，點P₁到原點的距離OP₁=2×1=2，
過點O作直線l的垂線OH，垂足為H，tan∠OGF=

FO

OG

=

2 3

2

=

3

，
∴∠OGF=60°，
∴OH=OGsin60°=

3

；
sin∠OP₁H=

OH

OP

=

3

2

，
∴∠OP₁H=60°，
可得點P₁與點G重合，
過點P₂作P₂M⊥x軸于點M，
可得∠P₂OM=30°，
∴OM=OP₂cos30°=

3

，
從而若點P為⊙O的關(guān)聯(lián)點，則P點必在線段P₁P₂上，
∴0≤m≤

3

；

（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，欲使這個圓的半徑最小，則這個圓的圓心應(yīng)在線段EF的中點；
考慮臨界情況，如圖4，
即恰好E、F點為⊙K的關(guān)聯(lián)時，則KF=2KN=

1

2

EF=2，
此時，r=1，
故若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，這個圓的半徑r的取值范圍為r≥1．

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和新概念等知識，注意臨界點位置的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．