Question

（2012•臨沂）如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；
（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)OA的旋轉(zhuǎn)條件確定B點(diǎn)位置，然后過(guò)B做x軸的垂線，通過(guò)構(gòu)建直角三角形和OB的長(zhǎng)（即OA長(zhǎng)）確定B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）已知O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）根據(jù)（2）的拋物線解析式，可得到拋物線的對(duì)稱軸，然后先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，而O、B坐標(biāo)已知，可先表示出△OPB三邊的邊長(zhǎng)表達(dá)式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三種情況分類討論，然后分辨是否存在符合條件的P點(diǎn)．

解答：解：（1）如圖，過(guò)B點(diǎn)作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，
∴OC=

1

2

OB=

1

2

×4=2，BC=OB•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-2

3

）；

（2）∵拋物線過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A、B，
∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx，
將A（4，0），B（-2．-2

3

）代入，得

16a+4b=0 4a-2b=-2 3

，
解得

a=- 3 6 b= 2 3 3

，
∴此拋物線的解析式為y=-

3

6

x²+

2 3

3

x

（3）存在，
如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2，直線x=2與x軸的交點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，y），
①若OB=OP，
則2²+|y|²=4²，
解得y=±2

3

，
當(dāng)y=2

3

時(shí)，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=

PD

OP

=

3

2

，
∴∠POD=60°，
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，
即P、O、B三點(diǎn)在同一直線上，
∴y=2

3

不符合題意，舍去，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-2

3

）
②若OB=PB，則4²+|y+2

3

|²=4²，
解得y=-2

3

，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-2

3

），
③若OP=BP，則2²+|y|²=4²+|y+2

3

|²，
解得y=-2

3

，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-2

3

），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，其坐標(biāo)為（2，-2

3

），

點(diǎn)評(píng)：此題融合了函數(shù)解析式的確定、等腰三角形的判定等知識(shí)，綜合程度較高，但屬于二次函數(shù)綜合題型中的常見(jiàn)考查形式，沒(méi)有經(jīng)過(guò)分類討論而造成漏解是此類題目中易錯(cuò)的地方．