Question

如圖(1)，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角錢AC與BD垂直相交于O，MN是梯形ABCD的中位線，∠DBC＝．

求證：AC＝MN

Answer 1

答案：
解析：

解析：分析1：將AC平移至DE的位置，將梯形中的問題轉(zhuǎn)化為△BDE中的問題 　　證法1：如圖(2)，過D點作DE∥AC交BC的延長線于E．∴AC⊥BD于O，∴∠BDE＝∠BOC＝又∵AD∥BC，∴四邊形ACED是平行四邊形． 　　∴CE＝AD，DE＝AC�、� 　　在Rt△BDE中，∵∠DBE＝， 　　∴DE＝BE＝(BC＋CE) 　　　�。�(BC＋AD) 　　∵MN是梯形ABCD的中位線， 　　∴MN＝(BC＋AD)�、� 　　由①、②得：MN＝AC 　　分析2：欲證AC＝(AD＋BC)．只須證OA＝AD，OC＝BC，這可從AC⊥BD，∠DBC＝∠ODA＝出發(fā)得證． 　　證法2：∵AC與BD垂直相交于O， 　　∴△BOC與△AOD都是直角三角形 　　在Rt△BOC中，∵∠OBC＝， 　　∴OC＝BC．又∵AD∥BC， 　　∴∠ADO＝∠OBC＝ 　　故同理有AO＝AD 　　∴AC＝AO＋OC＝(AD＋BC) 　　∵MN是梯形ABCD的中位線， 　　∴MN＝(AD＋BC)．故AC＝MN．