【答案】
分析:(1)求C點(diǎn)的坐標(biāo),即求出OC的長.根據(jù)垂徑定理可得出弧CD=2弧AC,而題中已經(jīng)告訴了C是弧AE的中點(diǎn),即弧AE=2弧AC,即弧CD=弧AE,因此CD=AE,那么OC=

AE=4,即可求出C點(diǎn)坐標(biāo);
(2)由于無法直接證明∠OMG=∠OBC來得出兩直線平行,因此可通過相似三角形來求解,可設(shè)出圓的半徑,然后分別求出OG、OM、OB的長,然后通過證OG、OM,OC、OB對應(yīng)成比例來得出△OMG與△OBC相似來得出∠OMG=∠OBC,進(jìn)行得出所求的結(jié)論;
(3)OF與OP的比例關(guān)系不變,在直角三角形DMP中,根據(jù)射影定理有DM
2=MO•MP,①同理可求出OD
2=OM•OP;
②然后分三種情況:
A:F與A重合時(shí),OF=OA,PF=PA,可根據(jù)②求出OP的長根據(jù)①求出MP的長即可求出OP的長,進(jìn)而可求出所求的比例關(guān)系;
B:F與B重合,同一;
C:F不與A、B重合.可通過相似三角形來求解.由于MF=DM,根據(jù)①可得出△OMF與△FMP相似,可得出

.
綜合三種情況即可得出OF:PF的值.
解答:
(1)解:方法(一)
∵直徑AB⊥CD,
∴CO=

CD,

=

,
∵C為

的中點(diǎn),
∴

=

,
∴

=

,
∴CD=AE,
∴CO=

CD=4,
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4).
方法(二)如圖1,連接BG,GM,連接CM,交AE于點(diǎn)N,
∵C為

的中點(diǎn),M為圓心,
∴AN=

AE=4,
CM⊥AE,
∴∠ANM=∠COM=90°,
在△ANM和△COM中:
∵

,
∴△ANM≌△COM(AAS),
∴CO=AN=4,
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4).
(2)證明:設(shè)半徑AM=CM=r,則OM=r-2,
由OC
2+OM
2=MC
2得:
4
2+(r-2)
2=r
2,
解得:r=5,(1分)
∴OM=r-OA=3
∵∠AOC=∠ANM=90°,
∠EAM=∠MAE,
∴△AOG∽△ANM,
∴

,
∵M(jìn)N=OM=3,
即

,
∴OG=

,(2分)
∵

,

,
∴

,
∵∠BOC=∠BOC,
∴△GOM∽△COB,
∴∠GMO=∠CBO,
∴MG∥BC.
(3)解:如圖2,連接DM,則DM⊥PD,DO⊥PM,
∴△MOD∽△MDP,△MOD∽△DOP,

∴DM
2=MO•MP;
DO
2=OM•OP,
即4
2=3•OP,
∴OP=

.
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí):

,
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí):

,
當(dāng)點(diǎn)F不與點(diǎn)A、B重合時(shí):連接OF、PF、MF,
∵DM
2=MO•MP,
∴FM
2=MO•MP,
∴

,
∵∠AMF=∠FMA,
∴△MFO∽△MPF,
∴

.
∴綜上所述,

的比值不變,比值為

.
點(diǎn)評:命題立意:考查坐標(biāo)系和圓的有關(guān)知識.