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        1. (2006•深圳)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M在x軸的正半軸上,⊙M交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于C、D兩點(diǎn),且C為的中點(diǎn),AE交y軸于G點(diǎn),若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),AE=8.

          (1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
          (2)連接MG、BC,求證:MG∥BC;
          (3)如圖2,過點(diǎn)D作⊙M的切線,交x軸于點(diǎn)P.動(dòng)點(diǎn)F在⊙M的圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí),的比值是否發(fā)生變化?若不變,求出比值;若變化,說明變化規(guī)律.
          【答案】分析:(1)求C點(diǎn)的坐標(biāo),即求出OC的長.根據(jù)垂徑定理可得出弧CD=2弧AC,而題中已經(jīng)告訴了C是弧AE的中點(diǎn),即弧AE=2弧AC,即弧CD=弧AE,因此CD=AE,那么OC=AE=4,即可求出C點(diǎn)坐標(biāo);
          (2)由于無法直接證明∠OMG=∠OBC來得出兩直線平行,因此可通過相似三角形來求解,可設(shè)出圓的半徑,然后分別求出OG、OM、OB的長,然后通過證OG、OM,OC、OB對應(yīng)成比例來得出△OMG與△OBC相似來得出∠OMG=∠OBC,進(jìn)行得出所求的結(jié)論;
          (3)OF與OP的比例關(guān)系不變,在直角三角形DMP中,根據(jù)射影定理有DM2=MO•MP,①同理可求出OD2=OM•OP;
          ②然后分三種情況:
          A:F與A重合時(shí),OF=OA,PF=PA,可根據(jù)②求出OP的長根據(jù)①求出MP的長即可求出OP的長,進(jìn)而可求出所求的比例關(guān)系;
          B:F與B重合,同一;
          C:F不與A、B重合.可通過相似三角形來求解.由于MF=DM,根據(jù)①可得出△OMF與△FMP相似,可得出
          綜合三種情況即可得出OF:PF的值.
          解答:(1)解:方法(一)
          ∵直徑AB⊥CD,
          ∴CO=CD,
          =,
          ∵C為的中點(diǎn),
          =,
          =
          ∴CD=AE,
          ∴CO=CD=4,
          ∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4).
          方法(二)如圖1,連接BG,GM,連接CM,交AE于點(diǎn)N,
          ∵C為的中點(diǎn),M為圓心,
          ∴AN=AE=4,
          CM⊥AE,
          ∴∠ANM=∠COM=90°,
          在△ANM和△COM中:
          ,
          ∴△ANM≌△COM(AAS),
          ∴CO=AN=4,
          ∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4).

          (2)證明:設(shè)半徑AM=CM=r,則OM=r-2,
          由OC2+OM2=MC2得:
          42+(r-2)2=r2
          解得:r=5,(1分)
          ∴OM=r-OA=3
          ∵∠AOC=∠ANM=90°,
          ∠EAM=∠MAE,
          ∴△AOG∽△ANM,
          ,
          ∵M(jìn)N=OM=3,

          ∴OG=,(2分)
          ,

          ,
          ∵∠BOC=∠BOC,
          ∴△GOM∽△COB,
          ∴∠GMO=∠CBO,
          ∴MG∥BC.

          (3)解:如圖2,連接DM,則DM⊥PD,DO⊥PM,
          ∴△MOD∽△MDP,△MOD∽△DOP,
          ∴DM2=MO•MP;
          DO2=OM•OP,
          即42=3•OP,
          ∴OP=
          當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí):,
          當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí):,
          當(dāng)點(diǎn)F不與點(diǎn)A、B重合時(shí):連接OF、PF、MF,
          ∵DM2=MO•MP,
          ∴FM2=MO•MP,

          ∵∠AMF=∠FMA,
          ∴△MFO∽△MPF,

          ∴綜上所述,的比值不變,比值為
          點(diǎn)評:命題立意:考查坐標(biāo)系和圓的有關(guān)知識.
          練習(xí)冊系列答案
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          (1)求線段OC的長;
          (2)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
          (3)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使△BCP為等腰三角形?若存在,求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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          (1)求證:BD⊥DC;
          (2)若AB=4,求梯形ABCD的面積.

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          B.
          C.
          D.

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