Question

勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．l955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗證勾股定理．在上圖的勾股圖中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=8．作△PQR使得∠R=90°，點H在邊QR上，點D，E在邊PR上，點G，F(xiàn)在邊PQ上，那么△PQR的周長等于

54+26

3

．

Answer 1

分析：在直角△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC，進而由等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)及三角函數(shù)就可求得QR的長，在直角△QRP中運用三角函數(shù)即可得到RP、QP的長，就可求出△PQR的周長．

解答：解：延長BA交QR于點M，連接AR，AP．
∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，
∴△ABC≌△GFC，
∴∠CGF=∠BAC=30°，
∴∠HGQ=60°，
∵∠HAC=∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAH=180°，
又∵AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH=180°，
∴∠RHA=∠BAC=30°，
∴∠QHG=60°，
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，
∴△QHG是等邊三角形．
AC=AB•cos30°=8×

3

2

=4

3

．
則QH=HA=HG=AC=4

3

．
在直角△HMA中，HM=AH•sin60°=4

3

×

3

2

=6．AM=HA•cos60°=2

3

．
在直角△AMR中，MR=AD=AB=8．
∴QR=QH+HM+MR=4

3

+6+8=14+4

3

．
∴QP=2QR=28+8

3

．
PR=QR•

3

=14

3

+12．
∴△PQR的周長等于RP+QP+QR=54+26

3

．
故答案為：54+26

3

．

點評：考查了勾股定理和含30度角的直角三角形，正確運用三角函數(shù)以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．