Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為D，與x軸交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3，與y軸負半軸交于點C．下面五個結論：

①2a+b＝0；

②4a+2b+c＞0；

③對任意實數x，ax2+bx≥a+b；

④只有當a＝時，△ABD是等腰直角三角形；

⑤使△ABC為等腰三角形的a值可以有3個．

其中正確的結論有_____．（填序號）

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

先根據圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3確定出AB的長及對稱軸，再由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．

解：①∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3，

∴AB＝4，

∴對稱軸x＝﹣＝1，

即2a+b＝0；

故①正確，符合題意；

②由圖象看，當x＝2時，y＝4a+2b+c＜0，

故②錯誤，不符合題意；

③函數的對稱軸為直線x＝1，函數在x＝1時，取得最小值，

故ax2+bx+c≥a+b+c，

即ax2+bx≥a+b正確，符合題意；

④要使△ABD為等腰直角三角形，必須保證D到x軸的距離等于AB長的一半；

D到x軸的距離就是當x＝1時y的值的絕對值．

當x＝1時，y＝a+b+c，

即|a+b+c|＝2，

∵當x＝1時，y＜0，

∴a+b+c＝﹣2，

又∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3，

∴當x＝﹣1時y＝0，即a﹣b+c＝0；

當x＝3時，y＝0．

∴9a+3b+c＝0，

解這三個方程可得：b＝﹣1，a＝，c＝﹣，

故④正確，符合題意；

⑤要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，

當AB＝BC＝4時，

∵AO＝1，△BOC為直角三角形，

又∵OC的長即為|c|，

∴c2＝16﹣9＝7，

∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，

∴c＝﹣，

與2a+b＝0、a﹣b+c＝0聯(lián)立組成解方程組，解得a＝；

同理當AB＝AC＝4時，

∵AO＝1，△AOC為直角三角形，

又∵OC的長即為|c|，

∴c2＝16﹣1＝15，

∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，

∴c＝﹣，

與2a+b＝0、a﹣b+c＝0聯(lián)立組成解方程組，解得a＝；

同理當AC＝BC時

在△AOC中，AC2＝1+c2，

在△BOC中BC2＝c2+9，

∵AC＝BC，

∴1+c2＝c2+9，此方程無解．

經解方程組可知只有兩個a值滿足條件．

故⑤錯誤．

故答案為：①③④．