Question

已知在△ABC中，AB=AC，⊙O為△ABC的外接圓，CD為⊙O的直徑，DM∥AC交AB于M．

（1）如圖1，若∠BAC=60゜，求證：BD=

3

DM；
（2）如圖2，延長DM交BC于E，CE=4，CD=10，求AM的長．

Answer 1

分析：（1）由題意易證△ABC是等邊三角形，則CD是角平分線．根據平行線的性質和圓周角定理得到∠1=∠2=30°．然后通過解直角△DNM可以證得結論；
（2）如圖2，延長DE交⊙O于點F，連接CF，AD．易證點A、O、F共線，四邊形ACFD是矩形．設AF交交BC于點N，則根據垂徑定理得到AN⊥BC，BN=NC．易證△CFE∽△ACF，則CF：AC=CE：AF=4：10=2：5，又CF²+AC²=AF²=100，CF²=AF•FN由此可以求得BC的長度；最后根據平行線分線段成比例可以求得線段AM的長度．

解答：證明：（1）如圖1，過點M作MN⊥BD于點N．
∵CD是直徑，
∴∠DBC=90°．
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60゜，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，且CD平分∠ACB，
∴∠DBA=∠3=∠4=30°．
∴DM=BM，
∴DN=BN．
∵DM∥AC，
∴∠2=∠4=30°．
又∵∠BDC=∠A=60°，
∴∠1=∠2=30°，
∴在直角△DNM中，DM=

3

2

BD，
∴BD=

3

DM；

（2）如圖2，延長DE交⊙O于點F，連接CF，AD．
∵DM∥AC，即DF∥AC，
∴∠DFC+∠ACF=180°．
又∵CD是直徑，
∴∠DFC=90°，
∴∠ACF=90°，
∴AF是直徑，
∴點A、O、F共線．易證四邊形ACFD是矩形．
設AF交交BC于點N，則AN⊥BC，BN=NC，
易證△CFE∽△ACF，則CF：AC=CE：AF=4：10=2：5，
又CF²+AC²=AF²=100，
解得AC=

50 29

29

，CF=

20 29

29

，又CF²=CN•CE
∴CN=

100

29

，EN=CE-CN=

16

29

，
∴BC=2CN=

200

29

，
又∵AM：AB=CE：CB，
∴AM=

29

．

點評：本題考查了圓周角定理，矩形的判定與性質，勾股定理以及等邊三角形的判定與性質．此題難度較大．