Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點D．

（1）求證：BE＝CF；

（2）當四邊形ABDF為菱形時，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2﹣2．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45，然后根據(jù)“SAS”證明△ABE≌△ACF，于是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得DF＝AF＝2，DF∥AB，再利用平行線的性質(zhì)得∠1＝∠BAC＝45，則可判斷△ACF為等腰直角三角形，所以CF＝AF＝2，然后計算CF﹣DF即可．

（1）證明：如圖，

∵△AEF是由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，

∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45，

∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3，

即∠BAE＝∠CAF，

在△ABE和△ACF中，

∴△ABE≌△ACF，

∴BE＝CF；

（2）解：如圖，

∵四邊形ABDF為菱形，

∴DF＝AF＝2，DF∥AB，

∴∠1＝∠BAC＝45，

∴△ACF為等腰直角三角形，

∴CF＝AF＝2，

∴CD＝CF﹣DF＝2﹣2．