Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，BC=10cm，AD=8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線(xiàn)段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，垂直于AD的直線(xiàn)m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與直線(xiàn)m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，問(wèn)所形成的△PEF是否存在最大面積；如果存在請(qǐng)求出，如果不存在說(shuō)明理由．
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)t=2秒時(shí)，S△PEF存在最大值，最大值為10cm2；（3）當(dāng)t＝秒，或t＝秒時(shí)，△PEF為直角三角形．

【解析】

（1）如答圖1所示，利用菱形的定義證明；
（2）如答圖2所示，首先求出△PEF的面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（3）如答圖3所示，分三種情形，需要分類(lèi)討論，分別求解．

（1）證明：當(dāng)t=2時(shí)，DH=AH=4，則H為AD的中點(diǎn)，如答圖1所示．
又∵EF⊥AD，
∴EF為AD的垂直平分線(xiàn)，
∴AE=DE，AF=DF．
∵AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴AD⊥BC，∠B=∠C．
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，即四邊形AEDF為菱形．

（2）解：如答圖2所示，由（1）知EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，即 ，解得：EF=10-，
∴當(dāng)t=2秒時(shí)，S△PEF存在最大值，最大值為10cm2．
（3）解：存在．理由如下：
①若點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，如答圖3①所示，
此時(shí)PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．
∵PE∥AD，
∴ ，
∴t=0（舍），故此種情形不存在；
②若點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，如答圖3②所示，
此時(shí)PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10-3t．
∵PF∥AD，∴，即 ，解得t=；

③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，如答圖3③所示．
過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N，則EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．
∵EM∥AD，
∴，
即 ，
解得BM=t，
∴PM=BP-BM=3t-t=t．
在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．
∵FN∥AD，
∴，
即 ，
解得CN=t，
∴PN=BC-BP-CN=10-3t-t=10- t．
在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10-t）2=t2-85t+100．
在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，
即：（10-t）2=（t2）+（t2-85t+100）
化簡(jiǎn)得：t2-35t=0，
解得：t=或t=0（舍去）
∴t=．
綜上所述，當(dāng)t=秒或t=秒時(shí)，△PEF為直角三角形．