Question

【題目】已知：如圖，菱形ABCD，分別延長(zhǎng)AB，CB到點(diǎn)F，E，使得BF=BA，BE=BC，連接AE，EF，F(xiàn)C，CA．

（1）求證：四邊形AEFC為矩形；

（2）連接DE交AB于點(diǎn)O，如果DE⊥AB，AB=4，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）ED=4．.

【解析】

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及矩形的判定證明即可；

（2）連接DB，根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)解答即可．

（1）證明：∵BF=BA，BE=BC，

∴四邊形AEFC為平行四邊形，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴BA=BC，

∴BE=BF，

∴BA+BF=BC+BE，即AF=EC，

∴四邊形AEFC為矩形；

（2）連接DB，

由（1）可知，AD∥EB，且AD=EB，

∴四邊形AEBD為平行四邊形，

∵DE⊥AB，

∴四邊形AEBD為菱形，

∴AE=EB，AB=2AG，ED=2EG，

∵矩形ABCD中，EB=AB，AB=4，

∴AG=2，AE=4，

∴在Rt△AEG中，EG=2，

∴ED=4．