Question

已知：E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點，如圖所示．
（1）探究四邊形EFGH的形狀，并證明；
（2）當四邊形EFGH是正方形時，請指出四邊形ABCD的對角線的關系，并說明理由；
（3）猜想四邊形EFGH的面積與四邊形ABCD的面積的關系，并說明理由．

Answer 1

分析：連接AC，BD，交于M點，如圖所示，
（1）四邊形EFGH為平行四邊形，理由為：由E，H分別為AB，AD中點，利用三角形中位線定理得到EH平行且等于BD的一半，同理得到FG平行且等于BD的一半，進而確定出EH與FG平行且相等，即可確定出四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）四邊形ABCD對角線相等且垂直，理由為：由E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，AD的中點，利用中位線定理得到EF平行且等于AC的一半，EH平行于BD且等于BD的一半，進而確定出四邊形EKMN為平行四邊形，得到對角相等，由四邊形EFGH為正方形，得到鄰邊EH=HG且∠NEF為直角，進而得到BD=AC，且AC與BD垂直，得證；
（3）四邊形EFGH的面積是四邊形ABCD的面積的

1

2

，理由為：由E為AB中點，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到三角形BEK與三角形ABM相似，三角形AEN與三角形ABM相似，利用面積之比等于相似比的平方，得到三角形EBK面積與三角形ABM面積之比為1：4，且三角形AEN與三角形EBK面積相等，進而確定出四邊形EKMN面積為三角形ABM的一半，同理得到四邊形MKFP面積為三角形MBC面積的一半，四邊形QMPG面積為三角形DMC面積的一半，四邊形MNHQ面積為三角形ADM面積的一半，四個四邊形面積之和即為四個三角形面積之和的一半，即為四邊形ABCD面積的一半．

解答：解：連結AC、BD且交于點M，
（1）四邊形EFGH為平行四邊形，理由為：
∵E、H分別是四邊形ABCD邊AB、AD的中點，
∴EH∥BD，且EH=

1

2

BD，同理可得，F(xiàn)G∥BD，且FG=

1

2

BD，
∴EH∥FG，且EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）四邊形ABCD的對角線的關系AC與BD垂直且相等，理由如下：
∵E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點，
∴BD∥EH，且BD=2EH，AC∥EF，且AC=2EF，且∠HEF=∠AMB，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴EH=HG，∠NEF=90°．
∴BD=AC，∠NMB=90°，
∴四邊形ABCD的對角線的關系AC與BD垂直且相等；

（3）四邊形EFGH的面積是四邊形ABCD的面積的

1

2

，理由如下：
設AC與EH、FG分別交于點N、P，BD與EF、HG分別交于點K、Q，
∵E是AB的中點，EF∥AC，EH∥BD，
∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，
∴

S△EBK

S△ABM

=

1

4

，S_△AEN=S_△EBK，
∴

S四邊形EKMN

S△ABM

=

1

2

，同理可得

S四邊形KFPM

S△BCM

=

1

2

，

S四邊形QGPM

S△DCM

=

1

2

，

S四邊形HQMN

S△DAM

=

1

2

，
∴

S四邊形EFGH

S四邊形ABCD

=

1

2

．

點評：此題屬于相似形綜合題，中點四邊形，涉及的知識有：三角形中位線定理，平行四邊形的判定，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．