Question

如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn)，例如：矩形ABCD中，點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形ABC，則稱點(diǎn)C為A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，同樣，點(diǎn)D也是A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)。
（1）如圖1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，請(qǐng)?jiān)谶匔D上作出A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)（點(diǎn)C和點(diǎn)D除外）（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

圖1

（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接寫出邊CD上A， B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）如圖2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4cm，DM=8cm，AN=5cm，動(dòng)點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿著DC方向以1 cm／s的速度向右移動(dòng)，過點(diǎn)P的直線l平行于BC，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s） ，點(diǎn)H為M，N兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，且點(diǎn)H在直線l上。
①當(dāng)t=4時(shí)，求PH的長(zhǎng)；
②探究滿足條件的點(diǎn)H的個(gè)數(shù)（直接寫出點(diǎn)H的個(gè)數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍，不必證明）。

圖2

Answer 1

解：（1）尺規(guī)作圖正確（以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)，或線段CD的中點(diǎn)）；
（2）4個(gè)；
（3）①當(dāng)t=4時(shí)，PH=或PH=2或PH=3；
②當(dāng)0≤t＜4時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)t=4時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)4＜t＜5時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)t=5時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)5＜t＜8時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)t=8時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)0≤t＜4或t=5或t=8時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；當(dāng)t=4時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn)；當(dāng)4＜t＜5或5＜t＜8時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)。