Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P從A出發(fā)在線段AD上以1個(gè)單位/秒向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．

（1）設(shè)△APQ的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)行時(shí)間為t，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（2）t取幾時(shí)S的值最大，最大值是多少？

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）S＝﹣t2+3t（0＜t≤8）；（2）當(dāng)t＝5時(shí)，△APQ的面積S取得最大值，為；（3）當(dāng)t＝5或t＝或t＝ 時(shí)，△APQ是等腰三角形．

【解析】

（1）利用sin∠ACB=，得出sin∠PAQ=，即可得出QF=AQsin∠PAQ=（10-t），進(jìn)而表示出△APQ的面積為S；

（2）利用二次函數(shù)最值求法運(yùn)用配方法求出，得出最值；

（3）根據(jù)當(dāng)AP=AQ時(shí)和當(dāng)PA=PQ時(shí)當(dāng)QA=QP時(shí)，分別得出t的值．

（1）在△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，

根據(jù)勾股定理得AC＝10，

∴sin∠ACB＝，同法可得sin∠PAQ＝，

過點(diǎn)Q作QF⊥AD于點(diǎn)F，

在Rt△AQF中，

∵AQ＝10﹣t，

∴QF＝AQsin∠PAQ＝（10﹣t），

∴S＝×t×（10﹣t），

即S＝﹣t2+3t（0＜t≤8）；

（2）∵S＝﹣（t2﹣10t+25）+＝﹣（t﹣5）2+，

當(dāng)t＝5時(shí)，△APQ的面積S取得最大值，為；

（3）△APQ是等腰三角形，

①當(dāng)AP＝AQ時(shí)，

t＝10﹣t，

則t＝5，

②當(dāng)PA＝PQ時(shí)，作PE⊥AQ于E

∵cos∠OAQ＝，則AE＝t，

∴AQ＝t，

∴t+t＝10，

∴t＝，

③當(dāng)QA＝QP時(shí)，作QF⊥AD于點(diǎn)F，

∴AF＝（10﹣t），

∴（10﹣t）＝t，

∴t＝，

綜上所述，當(dāng)t＝5或t＝或t＝時(shí)，△APQ是等腰三角形．