Question

已知拋物線y=x²+bx+c交x軸于A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．
（1）求b、c的值并寫出拋物線的對(duì)稱軸；
（2）連接BC，過點(diǎn)O作直線OE⊥BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E．求證：四邊形ODBE是等腰梯形；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△OBQ的面積等于四邊形ODBE的面積的

1

3

？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)b、c的值，進(jìn)而可得到拋物線的對(duì)稱軸方程；
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸DE與x軸的交點(diǎn)為F，根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程即可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)拋物線的解析式可求出C、D的坐標(biāo)，即可證得△OBC、△BDF都是等腰直角三角形，那么∠DBF=∠CBA=∠EOB=45°，由此可證得OE∥BD，然后再根據(jù)O、D、B、E四點(diǎn)坐標(biāo)求出OD、BE的長(zhǎng)，即可證得所求的結(jié)論；
（3）首先求出四邊形ODBE的面積，進(jìn)而可得到△OBQ的面積，由于OB的長(zhǎng)為定值，根據(jù)△OBQ的面積即可確定Q點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，將其代入拋物線的解析式中即可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：（1）解：分別把A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x²+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，
解之得：b=-4，c=3，
∴拋物線的對(duì)稱軸為：直線x=2；

（2）證明：拋物線的解析式為y=x²-4x+3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
而y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線頂點(diǎn)D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）．
∴tan∠DOF=

1

2

；
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸DE交x軸于點(diǎn)F，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），連接OD，DB，BE．
∵△OBC是等腰直角三角形，OE⊥BC，
∴∠EOB=45°，而OF=2，EF⊥OB，
∴EF=2，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），
∴tan∠FBE=2，
∴∠DOF≠∠FBE，
∴DO與EB不平行．
而△DFB也是等腰直角三角形，
∴∠BOE=∠OBD=45°，
∴OE∥BD，
∴四邊形ODBE是梯形．（5分）
在Rt△ODF和Rt△EBF中，
OD=

OF2+DF2

=

22+12

=

5

，BE=

EF2+FB2

=

22+12

=

5

，
∴OD=BE，
∴四邊形ODBE是等腰梯形．（7分）

（3）解：存在．理由如下：（8分）
由題意得：S_{四邊形ODBE}=

1

2

OB•DE=

1

2

×3×3=

9

2

．（9分）
設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（x，y）．
由題意得：S_三角形OBQ=

1

2

OB•|y|=

3

2

|y|，S_{四邊形ODBE}=

1

3

×

9

2

=

3

2

，
∴y=±1．
當(dāng)y=1時(shí)，即x²-4x+3=1，
∴x1=2+

2

，x2=2-

2

，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2+

2

，1）或（2-

2

，1）（11分）
當(dāng)y=-1時(shí)，即x²-4x+3=-1，
∴x=2，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），即為頂點(diǎn)D．
綜上所述，拋物線上存在三點(diǎn)Q₁（2+

2

，1），Q₂（2-

2

，1），Q₃（2，-1）．
使得S_三角形OBQ=

1

3

S_{四邊形ODBE}．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、等腰梯形的判定以及圖形面積的求法等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．