Question

已知：如圖，⊙O和⊙O’相交于A、B兩點，AC是⊙O’的切線，交⊙O于C點，連接CB并延長交⊙O’于點F，D為⊙O’上一點，且∠DAB=∠C，連接DB交延長交⊙O于點E．
①求證：DA是⊙O的切線；
②求證：AC²：AD²=BC：BD；
③若BF=4，CA=3

5

，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）本題可過A作圓O的直徑，然后證這條直徑與AD垂直即可．可根據(jù)圓周角定理和已知的∠DAB=∠C來求解．
（2）本題的關(guān)鍵是證CF=DE，如圖，如果證CF=DE，就必須證明O′Q=OP，就要證出∠OO′Q=∠O′OP，可通過證∠O′JR=∠OKR，即∠ABF=∠ABE來求解，證出CF=DE后，可根據(jù)切割線定理得出本題要求的結(jié)論．
（3）根據(jù)切割線定理和CA，F(xiàn)B的長，即可求出BC的長，也就能得出CF的長，（2）中已證得CF=DE，那么即可求出DE的長．

解答：（1）證明：如圖1，
過A作⊙O的直徑AG連接BG，則∠G=∠C，∠ABG=90°，
∵∠BAD=∠C，
∴∠BAD=∠G．
∵∠G+∠BAG=90°，
∴∠DAB+∠BAG=90°．
即∠DAG=90°．
∴AG⊥AD．
∴DA是圓O的切線．

（2）證明：如圖2：過O′作O′M⊥FC于M，作O′H⊥DE于H，
過O作ON⊥FC于N，過O作OL⊥DE于L；過O作OP⊥O′H于P，過O′作O′Q⊥ON于Q；
連接AB，OO′，則OO′⊥AB，OQ∥FC，OP∥DE，
∴∠ABF=∠O′JR，∠ABE=∠RKO．
∵∠ABF=∠BAC+∠C，∠ABE=∠D+∠DAB，
∵∠DAB=∠C，∠BAC=∠D，
∴∠ABF=∠ABE．
∴∠O′JR=∠OKR．
∴∠OO′Q=∠O′OP=90°-∠O′JR=90°-∠OKR．
∴OP=O′Q=OO′•cos∠OOP=OO•cos∠OOQ．
根據(jù)垂徑定理易知：O′Q=

1

2

CF，OP=

1

2

DE，
∴CF=DE．
∵DA，AC分別是⊙O和⊙O′的切線，
∴CA²=CB•CF，DA²=DB•DE．
∴CA²：DA²=（CB：DB）•（CF：DE）=CB：DB．

（3）解：根據(jù)切割線定理可得：
∵CA²=CB•CF=CB•（CB+BF）=CB²+CB•BF，
∴45=CB2+4CB．
∴BC=4．
∴CF=BC+BF=9．
∴DE=CF=9．

點評：本題考查了切線的判定、圓周角定理、弦切角定理、切割線定理等知識點．本題中證得CF=DE是解題的關(guān)鍵．