Question

如圖，在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，連接AE，過E作EF∥CD交BC于F．下列結(jié)論：①BE=EC；②BC²=AC•DC；③S_△BEC：S_△BEA=2：1；④EF=

2

AD；⑤sin∠BCA=

2 + 6

4

．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（　�。�

A．2個(gè)

B．3個(gè)

C．4個(gè)

D．5個(gè)

Answer 1

分析：作AH⊥BD的延長線于H，作BG⊥CD于G，根據(jù)條件利用直角三角形的性質(zhì)求出∠EBA=∠EAB，就可以得出BE=AE．由∠CED=∠EAD，得出CE=AE．可以得出①是正確的，設(shè)參數(shù)利用勾股定理就可以求出BC的值就可以得出結(jié)論②；根據(jù)等底的兩三角形面積之比等腰高之比運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出高的比就可以得出結(jié)論③；根據(jù)平行線的性質(zhì)得出三角形相似，根據(jù)性質(zhì)就求出EF與AD的數(shù)量關(guān)系，而得出結(jié)論④；根據(jù)三角函數(shù)值的定義建立直角三角形，用參數(shù)表示出相應(yīng)邊的值就可以求出結(jié)論⑤．

解答：解：∵CE⊥BD，
∴∠CED=∠CEB=90°．
∵∠BDC=60°，
∴∠ECD=30°，
∴CD=2ED．
∵CD=2DA，
∴ED=DA，
∴∠DEA=∠DAE=30°，
∴∠CED=∠EAD，
∴CE=AE．
∵∠BAC=45°，
∴∠BAE=15°，
∴∠EBA=15°，
∴∠EBA=∠EAB，
∴BE=AE．
∴BE=CE，故①正確；
設(shè)AD=x，則DE=x，CD=2x，
∴AC=3x，
∴AC•CD=6x²．
在Rt△CED中，由勾股定理，得
CE=

3

x
∴BE=

3

x，
在Rt△CEB中，由勾股定理，得
BC=

6

x，
∴BC²=6x²．
∴BC²=AC•DC，故②正確；
作AH⊥BD的延長線于H，
∴∠AHD=90°，
∴∠CED=∠AHD，
∵∠CDE=∠ADH，
∴△CDE∽△ADH，
∴

CE

AH

=

CD

AD

=2，
∴CE=2AH．
∵S_△BEC=

BE•CE

2

，S_△BEA=

BE•AH

2

∴S_△BEC=

BE•2AH

2

=2×

BE•AH

2

，
∴S_△BEC=2S_△BEA，
∴S_△BEC：S_△BEA=2：1，故③正確；
∵EF∥CD，
∴△BFE∽△BCD，
∴

EF

CD

=

BE

BD

，
∴

EF

2x

=

3 x

3 x+x

，
∴EF=（3-

3

）x．
∵AD=x
∴EF=（3-

3

）AD≠

2

AD，故④錯(cuò)誤；
作BG⊥CD于G，
∴∠BGC=∠BGD=90°，
∵∠BDG=60°，
∴∠GBD=30°，
∴GD=

1

2

BD=

1

2

（

3

x+x），
在RtBGD中由勾股定理得
GB=

3x+ 3 x

2

，
∴sin∠BCA=

3x+ 3 x 2

6 x

=

2 + 6

4

，故⑤正確．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了30°的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，解答時(shí)找到解決問題的入手點(diǎn)垂直是關(guān)鍵，靈活運(yùn)用特殊角求解是重點(diǎn)，設(shè)參數(shù)求解是難點(diǎn)．