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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,把矩形紙片AOCD置于直角坐標系中,O為坐標原點,AO=
          3
          ,把矩形紙片沿直線AF折疊,使得點D與OC上的點E重合,這時AE平分∠OAF.
          (1)填空:∠DAF
           
          ∠EAF(填“>”、“<”或“=”);
          (2)求出直線AE的解析式及點F的坐標;
          (3)設(shè)點M是直線AE上的一個動點,過點M作AD的平行線,交y軸于點N,是否存在點M,使得以M、N、D、A為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
          分析:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)直接得到∴∠DAF=∠EAF;
          (2)由AE平分∠OAF,得到∠OAE=∠EAF,而∠DAF=∠EAF,則∠DAF=∠EAF=∠OAE=30°,根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到OE=1,即A(0,
          3
          )、E(1,0),再利用待定系數(shù)法即可求出直線AE的解析式;設(shè)點F的坐標(x,y),利用折疊的性質(zhì)和含30°的直角三角形三邊的關(guān)系可得到CF=
          3
          3
          ,EC=1,即可得到F點的坐標.
          (3)作DN∥AM交y軸于點N,過點N作MN⊥y軸交直線AE于點M,則四邊形MADN是平行四邊形,利用平行四邊形的性質(zhì)得到MN=AD=2,根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系
          得AN=
          3
          AD=2
          3
          ,即可得到M點的坐標;同理可得當延長DC交直線AE于點M',則DM'∥AO,作M'N'⊥y軸于點N',則M'N'∥AD,求出點M′的坐標.
          解答:解:(1)∵矩形紙片沿直線AF折疊,使得點D與OC上的點E重合,
          ∴∠DAF=∠EAF.
          故答案為=;

          (2)∵AE平分∠OAF,
          ∴∠OAE=∠EAF,
          而∠DAF=∠EAF,
          ∴∠DAF=∠EAF=∠OAE=30°,
          在Rt△OAE中,OA=
          3
          ,
          ∴OE=OA•tan30°=1,
          ∴A(0,
          3
          )、E(1,0),
          設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b(k≠0),
          b=
          3
          k+b=0
          ,解得:
          k=-
          3
          b=
          3

          ∴直線AE的解析式為y=-
          3
          x+
          3
          ;
          ∵∠AEO=60°,∠AEF=90°,
          ∴∠FEC=30°
          設(shè)點F的坐標(x,y),則CF=y,
          ∴EF=DF=2y
          又DF=DC-DF,
          ∴DF=
          3
          -y,
          ∴2y=
          3
          -y,解得y=
          3
          3
          ,
          又EC=
          3
          CF=1,
          ∴OC=2,
          ∴F(2,
          3
          3
          );

          (3)精英家教網(wǎng)存在.理由如下:
          如圖,作DN∥AM交y軸于點N,過點N作MN⊥y軸交直線AE于點M,
          則MN∥AD,
          ∴四邊形MADN是平行四邊形.
          ∴MN=AD=2,
          又∠OAE=∠MAN=30°.
          ∴AN=
          3
          AD=2
          3
          ,
          ∴點M(-2,3
          3
          )
          ;
          延長DC交直線AE于點M',則DM'∥AO,
          作M'N'⊥y軸于點N',則M'N'∥AD,
          ∴四邊形AN'M'D是平行四邊形.
          ∴N'M'=OC=2
          又點M'在直線y=-
          3
          x+
          3
          上,當x=2時,y=-2
          3
          +
          3
          =-
          3
          ,
          ∴點M′(2,-
          3
          )

          綜上,存在2個符合條件的點M坐標,它們是(-2,3
          3
          )
          (2,-
          3
          )
          點評:本題考查了利用待定系數(shù)法求直線解析式的方法;也考查了折疊的性質(zhì)、含30°的直角三角形三邊的關(guān)系以及平行四邊形的性質(zhì).
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