Question

如圖（1），已知拋物線y=ax²+b與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（O，-3），作DN⊥y軸于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)D；直線y=-5垂直y軸于點(diǎn)C（0，-5）；作DF垂直直線y=-5于點(diǎn)F，作BE垂直直線y=-5于點(diǎn)E．
①求線段的長(zhǎng)度：MC=

 

，MN=

 

；BE=

 

，BN=

 

；DF=

 

，DN=

 

；
②若P是這條拋物線上任意一點(diǎn)，猜想：該點(diǎn)到直線y=-5的距離PH與該點(diǎn)到N點(diǎn)的距離PN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
（3）如圖（2），將N點(diǎn)改為拋物線y=x²-4x+3對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，直線y=-5改為直線y=m（m＜-1），已知對(duì)于拋物線y=x²-4x+3上的每一點(diǎn)，都有該點(diǎn)到直線y=m的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)N的距離，求m的值及點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把B、M的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得出方程組，求出方程組的解即可；
（2）①根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可求出MC、MN、BE、DF，由勾股定理求出BN，把y=-3代入拋物線的解析式求出DN；②由①可知：拋物線上每一點(diǎn)到直線y=-5的距離與該點(diǎn)到N點(diǎn)韻距離相等，即可得出答案；
（3）由y=x²-4x+3得出B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，-1），作BE垂直直線y=m于點(diǎn)，推出BN-BE=-m，GN=2+m，根據(jù)BN²=GN²+BG²，求出m即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+b與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-4），
代入得：

0=16a+b -4=b

，
解得：a=

1

4

，b=-4，
∴y=

1

4

x²-4，
答：拋物線的解析式為y=

1

4

x²-4．

（2）①M(fèi)C=5-4=1，MN=4-3=1，BE=|-5|=5，BN=

32+42

=5，DF=1+1=2，
y=-3代入拋物線的解析式得：-3=

1

4

x²-4，
∵x＞0，
∴x=2，
DN=2，
故答案為：1，1，5，5，2，2．

②由①可知：拋物線上每一點(diǎn)到直線y=-5的距離與該點(diǎn)到N點(diǎn)韻距離相等，
∴PH=PN，
答：點(diǎn)到直線y=-5的距離PH與該點(diǎn)到N點(diǎn)的距離PN的數(shù)量關(guān)系是PH=PN．

（3）由y=x²-4x+3得：
B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，-1），
作BE垂直直線y=m于點(diǎn)E，
拋物線上每一點(diǎn)都有該點(diǎn)到直線y=m的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)N的距離，
∴BN-BE=-m，GN=2+m，
在Rt△BNG中，BN²=GN²+BG²，
解得m=-

5

4

，
GN=

3

4

，
∴m的值為-

5

4

，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，-

3

4

），
答：m的值為-

5

4

，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，-

3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．