Question

在一張長(zhǎng)方形ABCD紙片中，AD=25cm，AB=20cm，現(xiàn)將這張紙片按下列圖示方法折疊，請(qǐng)分別求折痕的長(zhǎng)．
（1）如圖1，折痕為AE，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在AD上；
（2）如圖2，P，Q分別為AB，CD的中點(diǎn)，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G在PQ上，折痕為AE；
（3）如圖3，在圖2中，把長(zhǎng)方形ABCD沿著PQ對(duì)開(kāi)，變成兩張長(zhǎng)方形紙片，將兩張紙片任意疊合后，發(fā)現(xiàn)重疊部分是一個(gè)菱形，顯然，這個(gè)菱形的周長(zhǎng)最短是40cm，求疊合后周長(zhǎng)最大的菱形的周長(zhǎng)和面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形，得四邊形ABEF是正方形，根據(jù)勾股定理求得AE的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得AP=

1

2

AB=

1

2

AG，則∠GAP=60°，根據(jù)折疊的性質(zhì)，則∠EAB=30°，從而根據(jù)解直角三角形的知識(shí)求得AE的長(zhǎng)；
（3）最大的菱形顯然是菱形的較長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)和矩形的對(duì)角線(xiàn)重合的情況．根據(jù)勾股定理求得菱形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求得菱形的周長(zhǎng)和面積．

解答：解：（1）∵四邊形ABEF是正方形，
∴AE=20

2

；

（2）∵AP=

1

2

AB=

1

2

AG，
∴∠GAP=60°．
∵∠GAE=∠BAE，
∴∠EAB=30°．
∴AE=

AB

Cos30°

=

20

3 2

=

40 3

3

；

（3）最大的菱形如圖所示：

設(shè)QE=x，則PE=25-x．
x²=（25-x）²+10²，
解得x=

29

2

．
則菱形的周長(zhǎng)為58cm．
此時(shí)菱形的面積S=

29

2

×10=145．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了正方形的判定和性質(zhì)、勾股定理、折疊的性質(zhì)．