Question

如圖，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，點(diǎn)P是底邊AC上一個動點(diǎn)，M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，若PM+PN的最小值為4，則△ABC的周長是

 

．

Answer 1

分析：本題首先要明確P點(diǎn)在何處，通過M關(guān)于AC的對稱點(diǎn)M′，根據(jù)勾股定理就可求出MN的長，根據(jù)中位線的性質(zhì)及三角函數(shù)分別求出AB、BC、AC的長，從而得到△ABC的周長．

解答：解：作M點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)M′，連接M'N，則與AC的交點(diǎn)即是P點(diǎn)的位置，
∵M(jìn)，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴MN是△ABC的中位線，
∴MN∥AC，
∴

PM′

PN

=

KM′

KM

=1，
∴PM′=PN，
即：當(dāng)PM+PN最小時(shí)P在AC的中點(diǎn)，
∴MN=

1

2

AC
∴PM=PN=2，MN=2

3

∴AC=4

3

，
AB=BC=2PM=2PN=4，
∴△ABC的周長為：4+4+4

3

=8+4

3

．
故答案為：8+4

3

．

點(diǎn)評：本題考查等腰三角形的性質(zhì)和軸對稱及三角函數(shù)等知識的綜合應(yīng)用．正確確定P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．