Question

如圖，小明作出了邊長為1的第1個(gè)正△A₁B₁C₁，算出了正△A₁B₁C₁的面積．然后分別取△A₁B₁C₁三邊的中點(diǎn)A₂、B₂、C₂，作出了第2個(gè)正△A₂B₂C₂，算出了正△A₂B₂C₂的面積．用同樣的方法，作出了第3個(gè)正△A₃B₃C₃，算出了正△A₃B₃C₃的面積…，由此可得，第10個(gè)正△A₁₀B₁₀C₁₀的面積是（　　）

• A、

  3

  4

  ×(

  1

  4

  )9
• B、

  3

  4

  ×(

  1

  4

  )10
• C、

  3

  4

  ×(

  1

  2

  )9
• D、

  3

  4

  ×(

  1

  2

  )10

Answer 1

分析：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，先求出正△A₂B₂C₂，正△A₃B₃C₃的面積，依此類推△A_nB_nC_n的面積是

3

4

（

1

4

）^n-1，從而求出第10個(gè)正△A₁₀B₁₀C₁₀的面積．

解答：解：正△A₁B₁C₁的面積是

3

4

，
而△A₂B₂C₂與△A₁B₁C₁相似，并且相似比是1：2，
則面積的比是

1

4

，則正△A₂B₂C₂的面積是

3

4

×

1

4

；
因而正△A₃B₃C₃與正△A₂B₂C₂的面積的比也是

1

4

，面積是

3

4

（

1

4

）²；
依此類推△A_nB_nC_n與△A_n-1B_n-1C_n-1的面積的比是

1

4

，第n個(gè)三角形的面積是

3

4

（

1

4

）^n-1．
所以第10個(gè)正△A₁₀B₁₀C₁₀的面積是

3

4

×(

1

4

)9，
故選A．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，相似三角形面積的比等于相似比的平方，找出規(guī)律是關(guān)鍵．