Question

【題目】在⊙O中，直徑AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如圖當(dāng)PQ∥AB時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，線段PQ長(zhǎng)的最大值為______；此時(shí)，∠POQ的度數(shù)為______．

Answer 1

【答案】（1）；（2），60°

【解析】

連結(jié)OQ，如圖1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定義可計(jì)算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可計(jì)算出PQ=；
（2）連結(jié)OQ，如圖2，在Rt△OPQ中，根據(jù)勾股定理得到PQ= PQ=，則當(dāng)OP的長(zhǎng)最小時(shí)，PQ的長(zhǎng)最大，根據(jù)垂線段最短得到OP⊥BC，則OP=OB=，所以PQ長(zhǎng)的最大值=

解：（1）解：（1）連結(jié)OQ，如圖1，

∵PQ∥AB，OP⊥PQ，

∴OP⊥AB，

在Rt△OBP中，∵tan∠B=，

∴OP=3tan30°=，

在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，

∴PQ= =；

（2）連結(jié)OQ，如圖2，

在Rt△OPQ中，PQ==，

當(dāng)OP的長(zhǎng)最小時(shí)，PQ的長(zhǎng)最大，

此時(shí)OP⊥BC，則OP=OB=，

∴PQ長(zhǎng)的最大值為 = ,

在Rt△QPO中，tan∠POQ= ==

則∠POQ=60°，

故答案為：，60°．