Question

6．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC繞點C順時針旋轉得△A₁B₁C，當A₁落在AB邊上時，連接B₁B，取BB₁的中點D，連接A₁D，則A₁D的長度是$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 首先證明△ACA₁，△BCB₁是等邊三角形，推出△A₁BD是直角三角形即可解決問題．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴∠A=90°-∠ABC=60°，AB=4，BC=2$\sqrt{3}$，
∵CA=CA₁，
∴△ACA₁是等邊三角形，AA₁=AC=BA₁=2，
∴∠BCB₁=∠ACA₁=60°，
∵CB=CB₁，
∴△BCB₁是等邊三角形，
∴BB₁=2$\sqrt{3}$，BA₁=2，∠A₁BB₁=90°，
∴BD=DB₁=$\sqrt{3}$，
∴A₁D=$\sqrt{{A}_{1}{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
故答案為：$\sqrt{7}$．

點評 本題考查旋轉的性質、30度角的直角三角形性質、等邊三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是證明△ACA₁，△BCB₁是等邊三角形．