Question

【題目】已知：如圖所示，在△ABC中，∠BAC=60°，AD=AE，BE、CD交于點(diǎn)F，且∠DFE=120°.在BE的延長(zhǎng)線上截取ET=DC，連接AT.

（1）求證：∠ADC=∠AET；

（2）求證：AT=AC；

（3）設(shè)BC邊上的中線AP與BE交于Q.求證：∠QAB=∠QBA.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析 （3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)已知條件求得∠AEF+∠ADC=180°，再根據(jù)∠AEF+∠AET=180°即可得∠ADC=∠AET；

（2）利用SAS可證△AET≌△ADC即可解答；

（3）延長(zhǎng)AP至G點(diǎn)，使得GP=AP，連接BG.，再利用SAS可證△APC≌△GPB的性質(zhì)證明出△ABG≌△BAT即可解答.

（1）∵∠BAC=60°，∠DFE=120°，

∴∠AEF+∠ADC=360°-60°-120°=180°.

∵∠AEF+∠AET=180°

∴∠ADC=∠AET.

（2）利用SAS可證△AET≌△ADC.

∴AT=AC.

（3）延長(zhǎng)AP至G點(diǎn)，使得GP=AP，連接BG.

利用SAS可證△APC≌△GPB.

∴AC=GB

由（2）可知AC=AT

∴GB=AT

由（2）可知∠TAC=∠CAD=60°

∴∠TAB=120°

又∵△APC≌△GPB，∴∠CAP=∠BGP，∴AC∥BG

∴∠ABG=180°-∠BAC=180°-60°=120°=∠TAB

利用SAS可證△ABG≌△BAT，

∴∠QAB=∠QBA.