Question

如圖，△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC于D點，E為BC的中點，連接ED并延長交BA延長線于F點．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）若AB=，AD=1，求線段AF的長；
（3）當D為EF的中點時，試探究線段AB與BC之間的數量關系．

Answer 1

證明：（1））連接BD，DO，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠CDB=90°
又∵E為BC的中點，
∴DE=EB=EC，
∴∠EDB=∠EBD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠ABC=90°，
∴∠EDB+∠OBD=90°．
即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線．

（2）設AF=x，則FD==（切割線定理），
在RT△ABD中，BD==2，
∵∠AFD=∠DFB，∠FDA=∠FBD，
∴△AFD∽△DFB，
∴==，即=，
解得：x=，即線段AF的長度為；

（3）∵點D為EF中點，
∴BD=FD=DE（斜邊中線等于斜邊一半），
又∵ED=EB（切線的性質），
∴△EDB為等邊三角形，
∴∠DBE=60°，∠BCD=30°，
∴BC=AB；
分析：（1）連接BD，DO，則可得∠ODA=∠OAD，結合直徑所對的圓周角為90°，可得∠ADB=90°，從而可證明OD⊥DE，也可得出結論．
（2）設AF=x，則FD==（切割線定理），在RT△ABD中，求出BD，然后判斷△AFD∽△DFB，利用相似三角形的性質可得出關于x的方程，解出即可得出答案；
（3）根據切線的性質及直角三角形中斜邊中線等于斜邊一半可判斷出△DEB為等邊三角形，然后可得出∠BCD=30°，繼而可得出線段AB與BC之間的數量關系．
點評：此題屬于圓的綜合題，涉及了解直角三角形、切割線定理切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質，考察的知識點較多，解答第二問是本題的難點，關鍵是表示用AF表示出FD，難度較大．