Question

【題目】閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC，探究PG與PC的位置關(guān)系。

（1）請(qǐng)你寫出上面問(wèn)題中線段PG與PC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）將圖1中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問(wèn)題中的其他條件不變（如圖2）．你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明，

（3）將菱形ABCD和菱形BEFG均改成正方形，如圖3，P為DF的中點(diǎn)，此時(shí)PG與PC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系分別是什么？直接寫出答案。

Answer 1

【答案】（1）線段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC（2）沒(méi)有發(fā)生變化 (3)PG⊥PC，PG=PC

【解析】分析：（1）根據(jù)題意可知小穎的思路為，通過(guò)判定三角形DHP和PGF為全等三角形來(lái)得出證明三角形HCG為等腰三角形且P為底邊中點(diǎn)的條件；
（2）思路同上，延長(zhǎng)GP交AD于點(diǎn)H，連接CH，CG，本題中除了如（1）中證明△GFP≌△HDP（得到P是HG中點(diǎn)）外還需證明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．

（3）思路同上，延長(zhǎng)GP交CD于H，連接CG，證明△GFP≌△HDP即可.

詳解：（1）線段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC．

理由：延長(zhǎng)GP，交CD于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD與四邊形BEFG是菱形，

∴CD∥AB∥GF，

∴∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，

∵P是線段DF的中點(diǎn)，

∴DP=PF，

在△DPH和△FGP中，

，

∴△DPH≌△FGP（AAS），

∴PH=PG，DH=GF，

∵CD=BC，GF=GB=DH，

∴CH=CG，

∴CP⊥HG，

即PG⊥PC；

（2）猜想：（1）中的結(jié)論沒(méi)有發(fā)生變化．

證明：如圖，延長(zhǎng)GP交AD于點(diǎn)H，連接CH，CG，

∵P是線段DF的中點(diǎn)，

∴FP=DP，

∵AD∥FG，

∴∠GFP=∠HDP．

又∠GPF=∠HPD，

∴△GFP≌△HDP

∴GP=HP，GF=HD，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°．

由∠ABC=∠BEF=60°，且菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，

∴∠GBC=60°．

∴∠HDC=∠GBC．

∵四邊形BEFG是菱形，

∴GF=GB．

∵△HDC≌△GBC．

∴CH=CG．

∴PH=PG，PG⊥PC．

(3)PG⊥PC，PG=PC.