Question

【題目】如圖，在矩形中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，將沿翻折后點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，過作于，交于，連接．

求證：四邊形是菱形；

若，，求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）20

【解析】

（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠1=∠2，EC=EF，再根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠3，從而得到∠2=∠3，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得EF∥CG，再根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行求出FG∥CD，從而求出四邊形CEFG是平行四邊形，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明；

（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得BF=BC=10，然后利用勾股定理列式求出AF，從而得到DF的長，設(shè)CE=EF=x，表示出DE．在Rt△DEF中，利用勾股定理列出方程求出x的值，再根據(jù)菱形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

（1）根據(jù)翻折，∠1=∠2，EC=EF．

∵FH⊥BC，∴∠3+∠4=90°．

又∵∠1+∠4=∠BCD=90°，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴EF∥CG．

又∵FH⊥BC，∠BCD=90°，∴FG∥CD，∴四邊形CEFG是平行四邊形．

∵EC=EF（已證），∴四邊形CEFG是菱形；

（2）根據(jù)翻折，BF=BC=10．在Rt△ABF中，AF===6，∴DF=AD﹣AF=10﹣6=4，設(shè)CE=EF=x，則DE=CD﹣CE=8﹣x．在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，所以，四邊形CEFG的面積=CEDF=5×4=20．