Question

【題目】如圖，把一個量角器與一塊30°（∠CAB＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合，現有射線CP繞點C從CA開始沿順時針方向以每秒2°的速度旋轉到與CB重合，就停止旋轉．在旋轉過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E．連接BE．

（1）設旋轉x秒后，點E處的讀數為y°，則y與x的函數關系式________．

（2）當CP旋轉________秒時，△BCE是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）y=4x（0≤x≤45）；（2）7.5或30

【解析】

（1）由題意∠ACE=2x°，∠AOE=y°，根據圓周角定理可知∠AOE=2∠ACE，可得y=4x（0≤x≤45）；
（2）分兩種情形分別討論求解即可，①如圖，當BE=EC時，則有EO垂直平分BC，先根據平行線的性質求出∠AOE=∠BAC=30°，再利用圓周角定理得出∠ACE的度數，從而可得出結果；②當BC=BE時，則有OB垂直平分EC，先判定△BOE是等邊三角形，再求出∠AOE的度數，再利用圓周角定理得出∠ACE的度數，從而可得出結果．

解：（1）如圖，由題意知∠ACE=2x°，∠AOE=y°，

又∠ACB=90°，∴點C在以O為圓心，AB為直徑的圓上，

又MN=AB，∴點C也在以MN為直徑的圓上，

∴∠AOE=2∠ACE=4x°，

故答案為：y=4x（0≤x≤45）；

（2）①如圖，當BE=EC時，

連接OC，則OB=OC，又EB=EC，

∴EO垂直平分BC，

∵AC⊥BC，∴EO∥AC，

∴∠AOE=∠BAC=30°，

∴∠ACE=∠AOE=15°，

t=15÷2=7.5（秒）．

②如圖，當BC=BE時，

連接OC，則OE=OC，又BC=BE，

∴OB垂直平分EC，

∴∠OBE=∠OBC=60°，

又OE=OB，

∴△BOE是等邊三角形，

∴∠AOE=120°，

∴∠ACE=∠AOE=60°，

∴t=60÷2=30（秒）．

綜上可知，當CP旋轉7.5秒或30秒時，△BCE是等腰三角形．

故答案為：7.5或30．