Question

【題目】（1）如圖1，在五邊形ABCDE中，AB＝AE，∠B＝∠BAE＝∠AED＝90°，∠CAD＝45°，試猜想BC，CD，DE之間的數(shù)量關系．小明經過仔細思考，得到如下解題思路：

將△ABC繞點A逆時針旋轉90°至△AEF，由∠B＝∠AED＝90°，得∠DEF＝180°，即點D，E，F三點共線，易證△ACD≌　 　，故BC，CD，DE之間的數(shù)量關系是　 　；

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠D＝180°，點E，F分別在邊CB，DC的延長線上，∠EAF＝∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF之間的數(shù)量關系，并給出證明．

（3）如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝2，CE＝3，則DE的長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）△AFD，CD＝DE+BC；（2EF＝DF﹣BE,理由見解析；（3）．

【解析】

（1）如圖1，將△ABC繞點A逆時針旋轉90°至△AEF，由∠B＝∠AED＝90°，得∠DEF＝180°，即點D，E，F三點共線，易證△ACD≌△AFD，可得結論；

（2）如圖2，將△ABE繞點A逆時針旋轉，使AB與AD重合，得到△ADE'，證明△AFE≌△AFE'，據(jù)全等三角形的性質解答；

（3）將△ABD繞點A逆時針旋轉至△ACD'，使AB與AC重合，連接ED'，根據(jù)全等三角形的性質、勾股定理計算．

（1）BC，CD，DE之間的數(shù)量關系為：DF＝DE+BC，理由是：

如圖1，將△ABC繞點A逆時針旋轉90°至△AEF，

由∠B＝∠AED＝∠AEF＝90°，得∠DEF＝180°，即點D，E，F三點共線，

∵∠BAE＝90°，∠CAD＝45°，

∴∠BAC+∠DAE＝∠DAE+∠EAF＝45°，

∴∠CAD＝∠FAD，

∵AD＝AD，

∴△ACD≌△FAD（SAS），

∴CD＝DF＝DE+EF＝DE+BC，

故答案為：△AFD，CD＝DE+BC；

（2）如圖2，EF，BE，DF之間的數(shù)量關系是EF＝DF﹣BE．

證明：將△ABE繞點A逆時針旋轉，使AB與AD重合，得到△ADE'，

則△ABE≌△ADE'，

∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，

∴∠EAE'＝∠BAD，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，

∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F三點共線，

又∠EAF＝∠BAD＝∠EAE'

∴∠EAF＝∠E'AF，

在△AEF和△AE'F中，

，

∴△AFE≌△AFE'（SAS），

∴FE＝FE'，

又∵FE'＝DF﹣DE'，

∴EF＝DF﹣BE；

（3）如圖3，

將△ABD繞點A逆時針旋轉至△ACD'，使AB與AC重合，連接ED'，則CD'＝BD＝2，

由（1）同理得，△AED≌AED'，．

∴DE＝D'E．

∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，

∴∠ECD'＝90°，

在Rt△ECD'中，ED'＝，即DE＝，

故答案為：．