Question

已知⊙T與坐標(biāo)軸有四個(gè)不同的交點(diǎn)M、P、N、Q，其中P是直線y=kx-1與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)M、P、N，其頂點(diǎn)為H．
（1）求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）指出圓心T一定在哪一條直線上運(yùn)動(dòng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)H在直線y=kx-1上，且⊙T的半徑等于圓心T到原點(diǎn)距離的

2

倍時(shí)，你能確定k的值嗎？若能，請(qǐng)求出k的值；若不能，請(qǐng)你說(shuō)明理由．（圖供分析參考用）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)過(guò)P的直線的解析式即可求出P（-1，0），而Q、P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，由此可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性和垂徑定理即可得出圓心必在x軸上運(yùn)動(dòng)．
（3）本題可分兩種情況：分兩種情況：①圓心T在x軸負(fù)半軸；②圓心T在x軸正半軸；解法一致．已知了圓的半徑和圓心T到原點(diǎn)距離的倍數(shù)關(guān)系，通過(guò)連接TP構(gòu)建直角三角形，可求出圓心的坐標(biāo)和圓的半徑．也就能求出M、N的坐標(biāo)，然后根據(jù)M、N、C三點(diǎn)坐標(biāo)即可求出拋物線的解析式也就能得出H點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將H點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式中即可求出k的值．

解答：解：（1）y=kx-1交y于（0，-1）點(diǎn)，
∴P點(diǎn)的坐杯為（0，-1）
由Q與P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）．

（2）已知圓過(guò)M、N、P、Q四點(diǎn)，根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性和垂徑定理可知MN必為圓的直徑，
因此圓心T在x軸上運(yùn)動(dòng)．

（3）當(dāng)T在x軸負(fù)半軸上時(shí)，連接TP，則TP=

2

OT=

2

，
∴OT=1，△TOP為等腰直角三角形．
∴T（-1，0）
∵圓的半徑TP=

2

，
∴M（-1-

2

，0），N（

2

-1，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1+

2

）（x+1-

2

），
已知拋物線過(guò)P（0，-1），
∴a（0+1+

2

）（0+1-

2

）=-1
∴a=1
∴y=x²+2x-1=（x+1）²-2
∴H（-1，-2），代入直線y=kx-1中，
得k=1，
同理可求得當(dāng)T在x軸正半軸上時(shí)，k=-1．
因此k的值為±1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)以及圓的相關(guān)知識(shí)．難度適中．