Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分線BE、CF分別與AD相交于點E、F，BE與CF相交于點G.

(1)求證：BE⊥CF；

(2)若AB＝3，BC＝5，CF＝2，求BE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) BE＝4.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行四邊形兩組對邊分別平行可得∠ABC+∠BCD=180°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠EBC+∠FCB=∠ABC+∠DCB=90°，進而可得BE⊥CF；

（2）過A作AM∥FC，首先證明△ABE是等腰三角形，進而得到BO=EO，再利用勾股定理計算出EO的長，進而可得答案．

試題解析：（1）∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，

∴∠CBE＝∠ABC，∠BCF＝∠BCD.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠ABC＋∠BCD＝180°，

∴∠CBE＋∠BCF＝ (∠ABC＋∠BCD)＝90°，

∴∠CGB＝90°，

∴BE⊥CF.

(2)過點E作EP∥FC，交BC的延長線于點P，

則易證四邊形CPEF是平行四邊形，所以EP＝CF＝2，

.∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE.

在ABCD中，∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠CBE，

∴∠ABE＝∠AEB，

∴AB＝AE＝3.

同理可得DF＝DC＝3，

∴EF＝AE＋DF－AD＝1，

∴CP＝EF＝1.

又由(1)已證得BE⊥CF，

∴BE⊥EP，

∴在Rt△BPE中，BE2＋EP2＝BP2，即BE2＋22＝62，

所以BE＝4.