Question

如圖，已知直線y=-x+b與雙曲線y=

b

x

在第一象限內(nèi)的一支相交于點(diǎn)A、B，與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)C、D，P是雙曲線上一點(diǎn)，PO=PD．
（1）試用k、b表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若△POD的面積等于1，
①求雙曲線在第一象限內(nèi)的解析式；
②已知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)都是2，求△OAB的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線的解析式求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的解析式求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；
（2）①要求雙曲線的解析式，只需求得xy值，顯然根據(jù)△POD的面積等于1，即可求解；
②由①中的解析式可以進(jìn)一步求得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，從而求得直線的解析式，然后求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可計算△OAB的面積．

解答：（1）在直線y=-x+b中，令y=0，則x=b，即點(diǎn)D（b，0）．
∵PO=PD，
∴根據(jù)等腰三角形的三線合一，得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是

b

2

．
∵點(diǎn)P在雙曲線上，
∴y=

k

b 2

=

2k

b

，
則點(diǎn)P（

b

2

，

2k

b

）；

（2）①∵△POD的面積等于1，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的乘積是1，
則雙曲線在第一象限內(nèi)的解析式是y=

1

x

（x＞0）；
②由①中的解析式和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是2，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是

1

2

．
則點(diǎn)B（2，

1

2

）．
把點(diǎn)B代入y=-x+b，得b=

5

2

．
則直線的解析式是y=-x+

5

2

．
令y=0，則x=

5

2

，即點(diǎn)D（

5

2

，0）．
則△OAB的面積是

1

2

×2×

5

2

-

1

2

×

5

2

×

1

2

=

15

8

．

點(diǎn)評：此題綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的方法、等腰三角形的性質(zhì)以及運(yùn)用割補(bǔ)法求三角形的面積的方法．