Question

【題目】綜合題
（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn)，P是BC延長線上一點(diǎn)，N是∠DCP的平分線上一點(diǎn)．若∠AMN=90°，求證：AM=MN．
下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．
證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE．
（下面請你完成余下的證明過程）

（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2），N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，則∠AMN=60°時(shí)，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由．

（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X，請你作出猜想：當(dāng)∠AMN=時(shí)，結(jié)論AM=MN仍然成立．（直接寫出答案，不需要證明）

Answer 1

【答案】
（1）證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．

∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．

∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE，

BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM，

∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．

∵N是∠DCP的平分線上一點(diǎn)，

∴∠NCP=45°，∴∠MCN=135°．

在△AEM與△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM=MN

（2）解：結(jié)論AM=MN還成立

證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．

在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．

∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAE，

BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM，

∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．

∵N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，

∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°．

在△AEM與△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM=MN

（3）解：若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X,則當(dāng)∠AMN= 時(shí),結(jié)論AM=MN仍然成立．
【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)四邊相等，四角都是90°，得到△AEM≌△MCN，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，得到AM=MN；（2）根據(jù)正三角形的性質(zhì)三個(gè)角都是60°，三邊相等，得到△AEM≌△MCN，得到AM=MN；（3）根據(jù)規(guī)律得到當(dāng)∠AMN=(n2)·180°÷n時(shí)，結(jié)論AM=MN仍然成立．