Question

已知矩形紙片ABCD，AB=2，AD=1，將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合．
（1）如果折痕FG分別與AD、AB交于點F、G（如圖1），AF=，求DE的長；
（2）如果折痕FG分別與CD、AB交于點F、G（如圖2），△AED的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AF，AD的長可以求得DF的長，根據(jù)折疊知EF=AF，再根據(jù)勾股定理即可計算得到DE的長；
（2）根據(jù)直角三角形的外接圓的圓心是斜邊的中點，則折痕與AE的交點O即是其外接圓的圓心．設DE=x，根據(jù)三角形ADE的中位線定理求得OM=x，進一步表示出ON的長．根據(jù)直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑得到AE=2ON，在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理列方程求解．再根據(jù)直角三角形FOE相似于直角三角形ADE，求得OF的長，從而根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到FG=2OF．
解答：解：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=，∠D=90°．
根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得EF=AF=．
∴DF=AD-AF=．
在Rt△DEF中，DE=．（3分）

（2）設AE與FG的交點為O．
根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得AO=EO．
取AD的中點M，連接MO．
則MO=DE，MO∥DC．
設DE=x，則MO=x，
在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，
∴AE為△AED的外接圓的直徑，O為圓心．
延長MO交BC于點N，則ON∥CD．
∴∠CNM=180°-∠C=90°．
∴ON⊥BC，四邊形MNCD是矩形．
∴MN=CD=AB=2．∴ON=MN-MO=2-x．
∵△AED的外接圓與BC相切，
∴ON是△AED的外接圓的半徑．
∴OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x．
在Rt△AED中，AD²+DE²=AE²，
∴1²+x²=（4-x）²．
解這個方程，得x=．（6分）
∴DE=，OE=2-x=．
根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得AE⊥FG．
∴∠FOE=∠D=90°．可得FO=．
又AB∥CD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO．
∴△FEO≌△GAO．∴FO=GO．
∴FG=2FO=．
∴折痕FG的長是．（9分）
點評：本題通過矩形紙片折疊，利用軸對稱圖形的性質(zhì)，在豐富的圖形關(guān)系中，考查學生獲取信息和利用所得信息認識新事物的能力，本題對圖形折疊前后的不變量的把握、直線與圓位置關(guān)系的準確理解、方程思想的運用意識和策略等具有可再抽象性．