Question

23、拋物線y=ax²+2x+3（a＜0）交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，而且經(jīng)過點(diǎn)（2，3）．
（1）寫出拋物線的解析式及C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接BC，以BC為邊向右作正方形BCEF，求E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若將此拋物線沿其對稱軸向上平移，試判斷平移后的拋物線是否會同時(shí)經(jīng)過正方形BCEF的兩個(gè)頂點(diǎn)E、F；若能，寫出平移后的拋物線解析式，若不能，請說明理由；
（3）若P是拋物線y=ax²+2x+3上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線垂直于拋物線y=ax²+2x+3的對稱軸，垂足為Q，那么是否存在著這樣的點(diǎn)P，使以P、Q、D為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)（2，3）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的解析式．根據(jù)拋物線的解析式即可求出C、D兩的坐標(biāo)．
（2）可先求出E、F點(diǎn)的坐標(biāo)．然后設(shè)出平移后的拋物線的解析式．假設(shè)E、F都在平移后的拋物線上，先將E點(diǎn)的坐標(biāo)代入平移后的拋物線的解析式中即可確定出平移后拋物線的解析式．然后將F點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線其中即可判斷出是否存在經(jīng)過平移后同時(shí)過E、F點(diǎn)的拋物線．
（3）根據(jù)B，C的坐標(biāo)可知，△BOC是等腰直角三角形，因此如果△PQD與△BOC相似，那么△PQD的兩直角邊必須相等，可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)（先設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線的解析式表示出縱坐標(biāo)），然后表示出PQ，QD的長，根據(jù)PQ=QD即可得出一個(gè)關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，如果方程無解，則說明不存在這樣的點(diǎn)P，如果有解，那么可根據(jù)求出的P的橫坐標(biāo)和拋物線的解析式得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）y=-x²+2x+3，
C（0，3），D（1，4）．

（2）E（3，6）；F（6，3）
設(shè)拋物線沿對稱軸向上平移m個(gè)單位，
則平移后拋物線解析式為y=-（x-1）²+（4+m），
當(dāng)點(diǎn)E在此拋物線上，則把E點(diǎn)（3，6）代入，
求的拋物線解析式為：y=-（x-1）²+10，
把x=6代入，y=-15≠3，
所以平移后的拋物線不可能同時(shí)經(jīng)過正方形BCEF的兩個(gè)頂點(diǎn)E、F．

（3）因?yàn)镃（0，3），B（0，3），
所以△BOC為等腰直角三角形，
假設(shè)存在這樣的△DQP與△BOC相似，則△DQP也為等腰直角三角形，DQ=QP．
設(shè)P（x，-x²+2x+3），
得到：4-（-x²+2x+3）=x-1或者4-（-x²+2x+3）=1-x，
解得：x=1（舍去）；
x=2；x=0；x=1（舍去），
所以存在這樣的P點(diǎn)2個(gè)：（2，3）；（3，0）．

點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的平移、三角形相似等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．