Question

（1）已知x-y=2+a，y-z=2-a，且a²=7，試求x²+y²+z²-xy-yz-zx的值．
（2）已知對多項式2x³-x²-13x+k進行因式分解時有一個因式是2x+3，試求4k²+4k+1的值．

Answer 1

解：（1）∵x-y=2+a，y-z=2-a，
∴x-z=4，
∴（x-y）²+（y-z）²+（x-z）²=（2+a）²+（2-a）²+4²，
即x²-2xy+y²+y²-2yz+z²+x²-2xz+z²=4+4a+a²+4-4a+a²+16，
整理得，2（x²+y²+z²-xy-yz-zx）=2（a²+12），
∵a²=7，
∴x²+y²+z²-xy-yz-zx=7+12=19；

（2）設(shè)因式分解的另一個因式為x²+ax+b，
則（2x+3）（x²+ax+b）=2x³+2ax²+2bx+3x²+3ax+3b=2x³+（2a+3）x²+（2b+3a）x+3b=2x³-x²-13x+k，
所以，
解得，
所以，4k²+4k+1=（2k+1）²=[2×（-）+1]²=（-20）²=400．
分析：（1）把已知條件相加求出x-z=4，然后求出三個等式的平方和，再代入數(shù)據(jù)整理即可得解；
（2）設(shè)因式分解的另一個因式為x²+ax+b，然后利用多項式的乘法運算法則展開，然后根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等列出方程組求出a、b、k的值，把多項式4k²+4k+1利用完全平方公式進行因式分解，代入k的值進行計算即可得解．
點評：本題考查了完全平方公式以及因式分解的意義，（1）中觀察出所求代數(shù)式是x、y、z三數(shù)的差的平方和是解題的關(guān)鍵，（2）中根據(jù)因式分解與多項式的乘法是互逆運算求出k的值是解題的關(guān)鍵．