Question

如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線OC交于點C．
（1）若直線AB解析式為y=-2x+12，直線OC解析式為y=x，
①求點C的坐標；
②求△OAC的面積．
（2）如圖2，作∠AOC的平分線ON，若AB⊥ON，垂足為E，△OAC的面積為6，且OA=4，P、Q分別為線段OA、OE上的動點，連接AQ與PQ，試探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）①聯(lián)立兩個函數(shù)式，求解即可得出交點坐標，即為點C的坐標．
②欲求△OAC的面積，結合圖形，可知，只要得出點A和點C的坐標即可，點C的坐標已知，利用函數(shù)關系式即可求得點A的坐標，代入面積公式即可．
（2）在OC上取點M，使OM=OP，連接MQ，易證△POQ≌△MOQ，可推出AQ+PQ=AQ+MQ；若想使得AQ+PQ存在最小值，即使得A、Q、M三點共線，又AB⊥OP，可得∠AEO=∠CEO，即證△AEO≌△CEO（ASA），又OC=OA=4，利用△OAC的面積為6，即可得出AM=3，AQ+PQ存在最小值，最小值為3．

解答：解：（1）①由題意，

y=-2x+12 y=x.

（2分）
解得

x=4 y=4.

所以C（4，4）（3分）
②把y=0代入y=-2x+12得，x=6，所以A點坐標為（6，0），（4分）
所以S△OAC=

1

2

×6×4=12．（6分）

（2）存在；
由題意，在OC上截取OM=OP，連接MQ，
∵OQ平分∠AOC，
∴∠AOQ=∠COQ，
又OQ=OQ，
∴△POQ≌△MOQ（SAS），（7分）
∴PQ=MQ，
∴AQ+PQ=AQ+MQ，
當A、Q、M在同一直線上，且AM⊥OC時，AQ+MQ最�。�
即AQ+PQ存在最小值．
∵AB⊥ON，所以∠AEO=∠CEO，
∴△AEO≌△CEO（ASA），
∴OC=OA=4，
∵△OAC的面積為6，所以AM=12÷4=3，
∴AQ+PQ存在最小值，最小值為3．（9分）

點評：本題主要考查一次函數(shù)的綜合應用，具有一定的綜合性，要求學生具備一定的數(shù)學解題能力，有一定難度．